Resolva por separação de variáveis
\frac{d y}{d t}+t y=y \operatorname{com} y(1)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dt} + t\,y = y
com a condição inicial y(1)=3.
Reescrevendo, temos
\frac{dy}{dt} = y - t\,y = y\,(1 - t).
Isso é uma EDO separável, pois podemos isolar y de um lado e t do outro.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo por y e multiplicando por dt:
\frac{1}{y}\,dy = (1 - t)\,dt.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy \;=\;\int (1 - t)\,dt
\ln|y| = t - \frac{t^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando,
y = e^{\,t - \tfrac{t^2}{2} + C} = C_1 \,e^{\,t - \tfrac{t^2}{2}},
com C_1 = e^{C}.

Passo 4

Use a condição y(1)=3 para determinar C_1:
3 = C_1\,e^{\,1 - \tfrac{1^2}{2}} = C_1\,e^{\tfrac12} \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 3\,e^{-\tfrac12}.
Portanto,
y(t) = 3\,e^{-\tfrac12}\,e^{\,t - \tfrac{t^2}{2}} =3\,\exp\!\Bigl(t - \tfrac{t^2+1}{2}\Bigr).
Observando que t - \frac{t^2+1}{2} = -\tfrac{(t-1)^2}{2}, obtemos a forma mais simples:

Resposta

y(t) = 3\,e^{-\tfrac{(t-1)^2}{2}}.

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