Resolva por separação de variáveis
\frac{d x}{d y}=\frac{1+2 y^{2}}{y \operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem, que é separável:
\frac{dx}{dy} = \frac{1+2y^2}{y\,\sin(x)}.
Vamos separar as variáveis x e y e integrar ambos os lados.

Passo 2

Multiplicamos por \sin(x)\,dy para isolar variáveis:
\sin(x)\,dx = \frac{1+2y^2}{y}\,dy.
Note que
\frac{1+2y^2}{y} = \frac{1}{y} + 2y.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \sin(x)\,dx = \int \Bigl(\frac{1}{y} + 2y\Bigr)\,dy.
No lado esquerdo
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).
No lado direito
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert, \qquad \int 2y\,dy = y^2.
Portanto
-\cos(x) = \ln\lvert y\rvert + y^2 + C.

Passo 4

Reescrevendo com constante genérica C', obtemos a forma implícita da solução geral:
\cos(x) + \ln\lvert y\rvert + y^2 = C'.
Opcionalmente, isolamos x:
x = \operatorname{arccos}\bigl(C' - y^2 - \ln\lvert y\rvert\bigr).

Resposta

\cos(x) + \ln\lvert y\rvert + y^2 = C

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