Calcule a integral dupla sobre o retângulo R.
\iint_{\mathrm{R}} x^{2} y^{3} d \mathrm{~A} e \mathrm{R}=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dA
no retângulo R=[0,1]\times[0,1]. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini em uma região retangular e o uso de integrais simples em cada variável.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como x^{2}y^{3} é contínua em R, temos
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} x^{2}y^{3}\,dx\,dy.
Além disso, a função é separável em x e y, logo podemos escrever
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} x^{2}y^{3}\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{1}y^{3}\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculamos a integral em x:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} =\frac{1}{3}.

Passo 4

Calculamos a integral em y:
\int_{0}^{1}y^{3}\,dy =\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4} =\frac{1}{4}.

Passo 5

Multiplicando os resultados de x e y, obtemos
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dA =\frac{1}{3}\times\frac{1}{4} =\frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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