Faça o mapa de contorno da função, mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=x^{2}-y

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno da função
f(x,y)=x^2-y
ou seja, as curvas de nível definidas por
f(x,y)=c.

Passo 2

Para cada valor de nível c, equacionamos
x^2 - y = c
e isolamos y, obtendo
y = x^2 - c.

Passo 3

A expressão y = x^2 - c representa, para cada c, uma parábola com concavidade para cima e vértice em (0,-c). À medida que c aumenta, o vértice da parábola desloca-se para baixo.

Passo 4

Escolhemos alguns valores de c para visualizar várias curvas de nível. Por exemplo:
  • Para c=-2:
y = x^2 - (-2) \quad\Longrightarrow\quad y = x^2 + 2.
  • Para c=-1:
y = x^2 + 1.
  • Para c=0:
y = x^2.
  • Para c=1:
y = x^2 - 1.
  • Para c=2:
y = x^2 - 2.

Resposta

As curvas de nível para
c\in\{-2,-1,0,1,2\}
são as parábolas
y = x^2 + 2,\quad y = x^2 + 1,\quad y = x^2,\quad y = x^2 - 1,\quad y = x^2 - 2,
todas com concavidade para cima e vértices em (0,-c).

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