Calcule a integral dupla sobre o retângulo R.
\iint_{\mathrm{R}}(x+y)^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right) d \mathrm{~A} e \mathrm{R}=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de (x+y)^{2}(x^{2}-y^{2}) sobre \mathrm{R}=[0,1]\times[0,1]. O conteúdo aplicado é integração dupla e simetria de integrando em domínio quadrado.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=(x+y)^{2}(x^{2}-y^{2}).
Ao trocar x por y, nota-se que
f(y,x)=(x+y)^{2}(y^{2}-x^{2}) =-(x+y)^{2}(x^{2}-y^{2}) =-f(x,y).
Logo f é antissimétrica na troca de x e y.

Passo 3

Como \mathrm{R} é simétrico pela troca de x e y, temos
\iint_{\mathrm{R}}f(x,y)\,dA =\iint_{\mathrm{R}}f(y,x)\,dA.
Mas também
\iint_{\mathrm{R}}\bigl[f(x,y)+f(y,x)\bigr]\,dA =0 \implies 2\iint_{\mathrm{R}}f(x,y)\,dA=0 \implies \iint_{\mathrm{R}}f(x,y)\,dA=0.

Resposta

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