Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo da função e inferiormente pelo retângulo dado:
f(x, y)=a \cos (2 x)+b \operatorname{sen}(2 y) e \mathrm{R}=\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície
z = f(x,y) = a\cos(2x) + b\operatorname{sen}(2y)
acima do retângulo
R = \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]\times\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]
no plano xy. O conteúdo é cálculo de volume por integral dupla e usaremos o Teorema de Fubini para escrever
\text{Volume} = \iint_{R} f(x,y)\,dA.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla separando a soma em duas integrais:
\iint_{R} \bigl[a\cos(2x)+b\operatorname{sen}(2y)\bigr]\,dA = \iint_{R} a\cos(2x)\,dA + \iint_{R} b\operatorname{sen}(2y)\,dA.

Passo 3

Aplicando Fubini, cada integral fica iterada. Para a parte com \cos(2x):
\iint_{R} a\cos(2x)\,dA = \int_{y=0}^{\pi/2}\!\!\biggl[\int_{x=0}^{\pi/2}a\cos(2x)\,dx\biggr]dy.
Calculemos a integral interna em x:
\int_{0}^{\pi/2}a\cos(2x)\,dx = a\Bigl[\tfrac12\operatorname{sen}(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/2} = a\cdot\tfrac12(\operatorname{sen}\pi-\sen0) = 0.
Logo toda essa parcela é zero.

Passo 4

Para a parte com \operatorname{sen}(2y), trocamos a ordem ou simplesmente vemos que é constante em x:
\iint_{R} b\operatorname{sen}(2y)\,dA = \int_{y=0}^{\pi/2}\!\!\biggl[\int_{x=0}^{\pi/2}b\operatorname{sen}(2y)\,dx\biggr]dy = \int_{0}^{\pi/2} b\operatorname{sen}(2y)\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\,dy = \tfrac{b\pi}{2}\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(2y)\,dy.

Passo 5

Calculemos \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(2y)\,dy. Sabemos que
\int\operatorname{sen}(2y)\,dy = -\tfrac12\cos(2y),
então
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(2y)\,dy = -\tfrac12\bigl[\cos(\pi)-\cos(0)\bigr] = -\tfrac12\bigl[-1-1\bigr] = 1.

Passo 6

Substituindo de volta,
\iint_{R} b\operatorname{sen}(2y)\,dA = \tfrac{b\pi}{2}\times 1 = \tfrac{b\pi}{2}.
Somando termos, o volume total é
0 + \tfrac{b\pi}{2} = \tfrac{b\pi}{2}.

Resposta

\text{Volume} = \frac{b\pi}{2}.

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