Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado: \iint_{R} 42 y x^{3}\left(1+x^{2} y^{2}\right)^{6} d A \quad R=[0,1] \times[0,2] Passo 1O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R}42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}\,dA, onde R=[0,1]\times[0,2]. O conteúdo principal aqui é integrar em ordem dy\,dx explorando que a parte em y revela a derivada de \bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7}. Passo 2Vamos primeiro integrar em y, tratando x como constante: \int_{0}^{2}42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}dy. Observe que \frac{d}{dy}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7} =7\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}\cdot 2x^{2}y =14\,x^{2}y\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}. Logo 42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6} =3x\cdot\underbrace{14\,x^{2}y\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}}_{=\frac{d}{dy}(1+x^{2}y^{2})^{7}} =3x\,\frac{d}{dy}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7}. Portanto \int_{0}^{2}42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}dy =3x\Bigl[\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7}\Bigr]_{y=0}^{y=2} =3x\Bigl((1+4x^{2})^{7}-1\Bigr). Passo 3Agora integramos em x: \int_{0}^{1}3x\bigl((1+4x^{2})^{7}-1\bigr)\,dx =3\int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx\;-\;3\int_{0}^{1}x\,dx. Para a primeira integral, faça u=1+4x^{2}, então du=8x\,dx e quando x=0 temos u=1, quando x=1 temos u=5. Assim \int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx =\int_{u=1}^{5}u^{7}\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\Bigl[\frac{u^{8}}{8}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{64}(5^{8}-1) =\frac{390624}{64} =\frac{12207}{2}. E \int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}. Logo 3\int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx =3\cdot\frac{12207}{2} =\frac{36621}{2}, \qquad 3\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{3}{2}. Subtraindo os dois resultados: \int_{0}^{1}3x\bigl((1+4x^{2})^{7}-1\bigr)dx =\frac{36621}{2}-\frac{3}{2} =\frac{36618}{2} =18309. RespostaO valor da integral é 18309. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a integral dupla sobre o retângulo indicado: \iint_{R} \frac{\ln (4 x y)}{x y} d A \quad R=[1,2] \times[3,4] Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado: \iint_{R} x e^{x^{2}}-12 x^{3} \operatorname{sen}(\pi y) d A \quad R=[-2,0] \times\left[\frac{1}{2}, 1\right] Resolva por separação de variáveis x^{2} y^{2} d y=(y+1) d x Resolva por separação de variáveis \operatorname{sec} (x) d y=x \operatorname{cotg}(y) d x