Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
\iint_{R} 42 y x^{3}\left(1+x^{2} y^{2}\right)^{6} d A \quad R=[0,1] \times[0,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}\,dA,
onde R=[0,1]\times[0,2].
O conteúdo principal aqui é integrar em ordem dy\,dx explorando que a parte em y revela a derivada de \bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7}.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em y, tratando x como constante:
\int_{0}^{2}42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}dy.
Observe que
\frac{d}{dy}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7} =7\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}\cdot 2x^{2}y =14\,x^{2}y\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}.
Logo
42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6} =3x\cdot\underbrace{14\,x^{2}y\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}}_{=\frac{d}{dy}(1+x^{2}y^{2})^{7}} =3x\,\frac{d}{dy}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7}.
Portanto
\int_{0}^{2}42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}dy =3x\Bigl[\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{7}\Bigr]_{y=0}^{y=2} =3x\Bigl((1+4x^{2})^{7}-1\Bigr).

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}3x\bigl((1+4x^{2})^{7}-1\bigr)\,dx =3\int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx\;-\;3\int_{0}^{1}x\,dx.
Para a primeira integral, faça u=1+4x^{2}, então du=8x\,dx e quando x=0 temos u=1, quando x=1 temos u=5. Assim
\int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx =\int_{u=1}^{5}u^{7}\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\Bigl[\frac{u^{8}}{8}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{1}{64}(5^{8}-1) =\frac{390624}{64} =\frac{12207}{2}.
E
\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}.
Logo
3\int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx =3\cdot\frac{12207}{2} =\frac{36621}{2}, \qquad 3\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{3}{2}.
Subtraindo os dois resultados:
\int_{0}^{1}3x\bigl((1+4x^{2})^{7}-1\bigr)dx =\frac{36621}{2}-\frac{3}{2} =\frac{36618}{2} =18309.

Resposta

O valor da integral é 18309.

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