Resolva por separação de variáveis
x^{2} y^{2} d y=(y+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial por separação de variáveis:
x^{2}y^{2}\,dy = (y+1)\,dx.
O conteúdo é equação diferencial de variáveis separáveis; vamos isolar x de um lado e y do outro.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^{2} e por (y+1), obtemos
\frac{dx}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{y+1}\,dy.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int \frac{dx}{x^{2}} \;=\;\int \frac{y^{2}}{y+1}\,dy.

Passo 4

Calculemos o lado esquerdo:
\int x^{-2}\,dx = -\,x^{-1}.

Passo 5

Para o lado direito, fazemos divisão de polinômio:
\frac{y^{2}}{y+1} = y-1 + \frac{1}{y+1},
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\int \frac{y^{2}}{y+1}\,dy = \int\bigl(y-1\bigr)\,dy + \int\frac{1}{y+1}\,dy = \frac{y^{2}}{2} - y + \ln\!\bigl|y+1\bigr|.

Passo 6

Igualando as integrais e somando a constante de integração C, temos
-\,\frac{1}{x} = \frac{y^{2}}{2} - y + \ln\!\bigl|y+1\bigr| + C.
Podemos reescrever de forma mais simétrica:
\frac{y^{2}}{2} - y + \ln\!\bigl|y+1\bigr| + \frac{1}{x} = C'.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
\frac{y^{2}}{2} - y + \ln\!\bigl|y+1\bigr| + \frac{1}{x} = C.

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