Resolva por separação de variáveis
\operatorname{sec} (x) d y=x \operatorname{cotg}(y) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
\operatorname{sec}(x)\,dy \;=\; x\,\cot(y)\,dx.
O conteúdo envolvido é separação de variáveis e depois integração de funções elementares.

Passo 2

Vamos isolar dy e dx em lados opostos. Dividindo ambos os lados por \cot(y) e por \operatorname{sec}(x), obtemos
\frac{dy}{\cot(y)} \;=\;\frac{x\,dx}{\operatorname{sec}(x)}.
Como \tfrac{1}{\cot(y)}=\tan(y) e \tfrac{1}{\operatorname{sec}(x)}=\cos(x), a equação fica
\tan(y)\,dy \;=\; x\,\cos(x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int \tan(y)\,dy \;=\; \int x\,\cos(x)\,dx.

Passo 4

Cálculo da integral à esquerda:
\int \tan(y)\,dy = -\ln\bigl|\cos(y)\bigr|.
Cálculo da integral à direita por partes u=x, dv=\cos(x)\,dx:
\int x\,\cos(x)\,dx = x\,\sin(x)-\int \sin(x)\,dx = x\,\sin(x)+\cos(x).

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, temos
-\ln\bigl|\cos(y)\bigr| = x\,\sin(x)+\cos(x)+C.
Multiplicando por -1 e juntando constantes, definimos C_1=-C:
\ln\bigl|\cos(y)\bigr| = -\,x\,\sin(x)-\cos(x)+C_1.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados:
\bigl|\cos(y)\bigr| = e^{C_1}\,e^{-\,x\,\sin(x)-\cos(x)}.
Chamando K=e^{C_1} (constante real não nula), obtemos a solução implícita
\cos(y)=K\,e^{-\,x\,\sin(x)-\cos(x)}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
\boxed{\cos(y)=K\,e^{-\,x\,\sin(x)-\cos(x)},}
onde K é constante de integração.

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