O maior valor de m para o qual o tetraedro de vértices A=(0,0,2), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(2,2, m) tem volume 56 é

Passo 1

O enunciado dá o tetraedro de vértices A=(0,0,2), B=(1,0,0), C=(0,1,0) e D=(2,2,m) e pede o maior valor de m para que o volume seja 56. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do volume de um tetraedro em função do determinante:
V = \frac{1}{6}\bigl|\det\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\bigr)\bigr|.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (1,0,0)-(0,0,2) = (1,0,-2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0,1,0)-(0,0,2) = (0,1,-2),
\overrightarrow{AD} = D - A = (2,2,m)-(0,0,2) = (2,2,m-2).

Passo 3

Agora montamos o determinante
\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 2 & 2 & m-2 \end{pmatrix}
e expandimos pela primeira linha:
\det = 1\cdot\bigl(1\cdot(m-2)-(-2)\cdot2\bigr) -0\cdot(\dots) +(-2)\cdot\bigl(0\cdot2-1\cdot2\bigr).
Isso dá
\det = (m-2+4) + (-2)\cdot(-2) = (m+2)+4 = m+6.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do volume e igualamos a 56:
\frac{1}{6}\bigl|m+6\bigr| = 56 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|m+6\bigr| = 336.
Logo
m+6 = 336 \quad\text{ou}\quad m+6 = -336,
de onde m = 330 ou m=-342. Como queremos o maior valor de m, ficamos com m=330.

Resposta

330

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