Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y)=(1827 x-730 y, 4575 x-1828 y)
Sabe-se que (\boldsymbol{a}, \mathbf{1 8 3}) \in \mathbb{R}^{\mathbf{2}} é um autovetor de \boldsymbol{T} com autovalor correspodente -\mathbf{3}. Qual o valor da coordenada \boldsymbol{a} ?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (1827\,x - 730\,y,\;4575\,x - 1828\,y)
e afirma que (a,183) é um autovetor de T com autovalor -3. Precisamos usar a condição
T(a,183) = -3\,(a,183)
para determinar o valor de a.

Passo 2

Aplicando T ao vetor (a,183) e igualando a -3\,(a,183) obtemos as duas equações escalares:
1827\,a \;-\;730\cdot183 \;=\;-3\,a,
4575\,a \;-\;1828\cdot183 \;=\;-3\cdot183.
Basta resolver a primeira para encontrar a.

Passo 3

Na primeira equação temos
1827\,a + 3\,a = 730\cdot183 \quad\Longrightarrow\quad 1830\,a = 730\cdot183 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{730\cdot183}{1830} = \frac{730}{10} = 73.

Resposta

O valor de a é 73.

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