Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} \cos x \operatorname{sen} y d A \quad R=\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right] \times\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R} \cos x \,\sin y \,dA
onde
R = \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\bigr]\times\bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\bigr].
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em retângulos. Vamos calcular (i) integrando primeiro em x e depois em y, e (ii) primeiro em y e depois em x.

Passo 2

(i) Integração em x primeiro.
Inner integral em x:
\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos x\,dx =\Bigl[\sin x\Bigr]_{x=\pi/6}^{x=\pi/4} =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac{\sqrt2}{2}-\frac12.
Multiplicando por \sin y e integrando em y:
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\Bigr)\sin y\,dy =\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\Bigr) \int_{\pi/4}^{\pi/3}\sin y\,dy.
Agora
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\sin y\,dy =\Bigl[-\cos y\Bigr]_{y=\pi/4}^{y=\pi/3} =-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)+\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-\frac12+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{2}-\frac12.
Logo o valor total é
\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\Bigr)\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\Bigr) =\Bigl(\frac{\sqrt2-1}2\Bigr)^{2} =\frac{3-2\sqrt2}{4}.

Passo 3

(ii) Integração em y primeiro.
Inner integral em y:
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\sin y\,dy =\frac{\sqrt2}{2}-\frac12
(conforme já calculado).
Multiplicando por \cos x e integrando em x:
\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos x\,dx =\frac{\sqrt2}{2}-\frac12
(também já visto).
Portanto obtém‐se de novo
\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}-\frac12\Bigr)^{2} =\frac{3-2\sqrt2}{4}.

Resposta

\iint_{R}\cos x\,\sin y\,dA =\frac{3-2\sqrt2}{4}.

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