Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em retângulos. Vamos calcular (i) integrando primeiro em
e depois em
, e (ii) primeiro em
e depois em
.
Passo 2
(i) Integração em
primeiro.
Inner integral em :
Inner integral em
Multiplicando por
e integrando em
:
Agora
Logo o valor total é
Passo 3
(ii) Integração em
primeiro.
Inner integral em :
Inner integral em
(conforme já calculado).
Multiplicando por e integrando em
:
Multiplicando por
(também já visto).
Portanto obtém‐se de novo
Portanto obtém‐se de novo