Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.
O conteúdo usado é o Teorema de Fubini, que permite escrever
O conteúdo usado é o Teorema de Fubini, que permite escrever
Vamos calcular nas duas ordens de integração para confirmar que o resultado é o mesmo.
Passo 2
(i) Integração em
primeiro.
Para cada fixo calculamos
Para cada
Como
é constante em
,
E
Logo o resultado da integral interna é
Passo 3
Agora integramos em
de 1 a 4:
Calculamos
e
Somando, obtemos
Passo 4
(ii) Integração em
primeiro.
Para cada fixo calculamos
Para cada
Já sabemos de antes que
E como
é constante em
,
Então a integral interna vale
Passo 5
Agora integramos em
de 1 a 2:
Temos
e
Somando, chega-se novamente a
Resposta
O valor da integral dupla, seja integrando
primeiro ou
primeiro, é
.