Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} 15 y^{4}+\frac{2}{x^{2}} d A \quad R=[1,2] \times[1,4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\Bigl(15\,y^{4}+\frac{2}{x^{2}}\Bigr)\,dA,
onde R=[1,2]\times[1,4].
O conteúdo usado é o Teorema de Fubini, que permite escrever
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\int_{y=1}^{4}\!\int_{x=1}^{2}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{x=1}^{2}\!\int_{y=1}^{4}f(x,y)\,dy\,dx.
Vamos calcular nas duas ordens de integração para confirmar que o resultado é o mesmo.

Passo 2

(i) Integração em x primeiro.
Para cada y fixo calculamos
\int_{x=1}^{2}\Bigl(15\,y^{4}+\tfrac{2}{x^{2}}\Bigr)\,dx =\int_{1}^{2}15\,y^{4}\,dx+\int_{1}^{2}2\,x^{-2}\,dx.
Como 15\,y^{4} é constante em x,
\int_{1}^{2}15\,y^{4}\,dx =15\,y^{4}\,(2-1) =15\,y^{4}.
E
\int_{1}^{2}2\,x^{-2}\,dx =2\int_{1}^{2}x^{-2}\,dx =2\bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{2} =2\Bigl(-\tfrac1{2}-(-1)\Bigr) =2\bigl(-\tfrac12+1\bigr) =1.
Logo o resultado da integral interna é
15\,y^{4}+1.

Passo 3

Agora integramos em y de 1 a 4:
\int_{y=1}^{4}\bigl(15\,y^{4}+1\bigr)\,dy =\int_{1}^{4}15\,y^{4}\,dy+\int_{1}^{4}1\,dy.
Calculamos
\int_{1}^{4}15\,y^{4}\,dy =15\cdot\frac{y^{5}}{5}\Big|_{1}^{4} =3\,y^{5}\Big|_{1}^{4} =3\bigl(4^{5}-1^{5}\bigr) =3(1024-1) =3069,
e
\int_{1}^{4}1\,dy =4-1 =3.
Somando, obtemos
3069+3=3072.

Passo 4

(ii) Integração em y primeiro.
Para cada x fixo calculamos
\int_{y=1}^{4}\Bigl(15\,y^{4}+\tfrac{2}{x^{2}}\Bigr)\,dy =\int_{1}^{4}15\,y^{4}\,dy+\int_{1}^{4}\frac{2}{x^{2}}\,dy.
Já sabemos de antes que
\int_{1}^{4}15\,y^{4}\,dy=3069.
E como 2/x^{2} é constante em y,
\int_{1}^{4}\frac{2}{x^{2}}\,dy =\frac{2}{x^{2}}\,(4-1) =\frac{6}{x^{2}}.
Então a integral interna vale
3069+\frac{6}{x^{2}}.

Passo 5

Agora integramos em x de 1 a 2:
\int_{x=1}^{2}\Bigl(3069+\tfrac{6}{x^{2}}\Bigr)\,dx =\int_{1}^{2}3069\,dx+\int_{1}^{2}6\,x^{-2}\,dx.
Temos
\int_{1}^{2}3069\,dx =3069\,(2-1) =3069,
e
\int_{1}^{2}6\,x^{-2}\,dx =6\bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{2} =6\Bigl(-\tfrac1{2}-(-1)\Bigr) =6\bigl(-\tfrac12+1\bigr) =3.
Somando, chega-se novamente a
3069+3=3072.

Resposta

O valor da integral dupla, seja integrando x primeiro ou y primeiro, é 3072.

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