Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} 16 x y-9 x^{2}+1 d A \quad R=[2,3] \times[-1,1]

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla da função \,f(x,y)=16xy-9x^2+1 sobre o retângulo
R = [2,3]\times[-1,1].
O conteúdo é a aplicação do Teorema de Fubini para retângulos, que nos permite escolher a ordem de integração. Faremos (i) integrar primeiro em x e (ii) integrar primeiro em y, e veremos que o resultado é o mesmo.

Passo 2

(i) Integração com respeito a x primeiro. Por Fubini,
\iint_{R} (16xy-9x^2+1)\,dA =\int_{y=-1}^{1}\Bigl[\int_{x=2}^{3}(16xy-9x^2+1)\,dx\Bigr]dy.
Calculemos a integral interna em x:
\int_{2}^{3}16xy\,dx =16y\int_{2}^{3}x\,dx =16y\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{2}^{3} =8y\,(9-4) =40y,
\int_{2}^{3}(-9x^2)\,dx =-9\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{2}^{3} =-3\,(27-8) =-57,
\int_{2}^{3}1\,dx =[x]_{2}^{3} =1.
Somando, o resultado da interna é
40y -57 +1 = 40y -56.
Agora integramos em y:
\int_{-1}^{1}(40y-56)\,dy =\Bigl[20y^2 -56y\Bigr]_{-1}^{1} =\bigl(20\cdot1 -56\cdot1\bigr)-\bigl(20\cdot1 -56\cdot(-1)\bigr) =(20-56)-(20+56) =-36-76 =-112.

Passo 3

(ii) Integração com respeito a y primeiro. Por Fubini,
\iint_{R}(16xy-9x^2+1)\,dA =\int_{x=2}^{3}\Bigl[\int_{y=-1}^{1}(16xy-9x^2+1)\,dy\Bigr]dx.
Calculemos a interna em y:
\int_{-1}^{1}16xy\,dy =16x\int_{-1}^{1}y\,dy =16x\cdot0 =0,
\int_{-1}^{1}(-9x^2)\,dy =-9x^2\,[y]_{-1}^{1} =-9x^2\,(1-(-1)) =-18x^2,
\int_{-1}^{1}1\,dy =[y]_{-1}^{1} =2.
Somando, a interna dá
0 -18x^2 +2 = -18x^2 +2.
Agora integramos em x:
\int_{2}^{3}(-18x^2+2)\,dx =\Bigl[-6x^3 +2x\Bigr]_{2}^{3} =\bigl(-6\cdot27+2\cdot3\bigr)-\bigl(-6\cdot8+2\cdot2\bigr) =(-162+6)-(-48+4) =-156-(-44) =-156+44 =-112.

Passo 4

Em ambos os métodos obtivemos o mesmo valor -112, como garante o Teorema de Fubini em retângulos.

Resposta

-112

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