Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
Estamos calculando a integral dupla da função
sobre o retângulo
O conteúdo é a aplicação do Teorema de Fubini para retângulos, que nos permite escolher a ordem de integração. Faremos (i) integrar primeiro em
e (ii) integrar primeiro em
, e veremos que o resultado é o mesmo.
Passo 2
(i) Integração com respeito a
primeiro. Por Fubini,
Calculemos a integral interna em
:
Somando, o resultado da interna é
Agora integramos em
:
Passo 3
(ii) Integração com respeito a
primeiro. Por Fubini,
Calculemos a interna em
:
Somando, a interna dá
Agora integramos em
:
Passo 4
Em ambos os métodos obtivemos o mesmo valor
, como garante o Teorema de Fubini em retângulos.