Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} 8 x^{3}-4 d A \quad R=[-3,-1] \times[0,4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(8x^{3}-4)\,dA
no retângulo R=[-3,-1]\times[0,4] usando Fubini de duas formas: (i) integrando primeiro em x e (ii) integrando primeiro em y.

Passo 2

Integrando primeiro em x:
\int_{0}^{4}\Bigl[\int_{-3}^{-1}(8x^{3}-4)\,dx\Bigr]\,dy.
No interno temos
\int(8x^{3}-4)\,dx = 2x^{4}-4x,
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\int_{-3}^{-1}(8x^{3}-4)\,dx = \bigl[2x^{4}-4x\bigr]_{x=-3}^{x=-1} = \bigl(2\cdot1 -4\cdot(-1)\bigr) - \bigl(2\cdot81 -4\cdot(-3)\bigr) = -168.
Assim
\int_{0}^{4}(-168)\,dy = -168\cdot4 = -672.

Passo 3

Integrando primeiro em y:
\int_{-3}^{-1}\Bigl[\int_{0}^{4}(8x^{3}-4)\,dy\Bigr]\,dx.
No interno, (8x^{3}-4) é constante em y, então
\int_{0}^{4}(8x^{3}-4)\,dy = (8x^{3}-4)\cdot4 = 32x^{3}-16.
Fica
\int_{-3}^{-1}(32x^{3}-16)\,dx = \bigl[8x^{4}-16x\bigr]_{x=-3}^{x=-1} = -672.

Resposta

-672

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