Encontre a curvatura da curva \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, t\right\rangle no ponto (1,0,0).
24. Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle no ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de duas curvas no espaço em pontos dados. Para uma curva \mathbf{r}(t), a curvatura é
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3}.
Vamos aplicar isso primeiro a \mathbf{r}(t)=\langle e^{t}\cos t,\;e^{t}\operatorname{sen} t,\;t\rangle no ponto (1,0,0), e depois a \mathbf{r}(t)=\langle t,\;t^2,\;t^3\rangle no ponto (1,1,1).

Passo 2

Para a curva \langle e^{t}\cos t,\;e^{t}\operatorname{sen} t,\;t\rangle, achamos t_0 tal que
e^{t_0}\cos t_0=1,\quad e^{t_0}\operatorname{sen} t_0=0,\quad t_0=\text{?}
Da segunda equação vem \operatorname{sen} t_0=0\Rightarrow t_0=n\pi. Substituindo em e^{t_0}\cos t_0=1 e^{n\pi}(-1)^n=1, o que só ocorre para n=0. Logo t_0=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas gerais
\mathbf{r}'(t)=\bigl\langle e^t(\cos t-\operatorname{sen} t),\;e^t(\operatorname{sen} t+\cos t),\;1\bigr\rangle,
\mathbf{r}''(t)=\bigl\langle -2e^t\operatorname{sen} t,\;2e^t\cos t,\;0\bigr\rangle.
Em t=0 isso vale
\mathbf{r}'(0)=\langle1,1,1\rangle,\quad \mathbf{r}''(0)=\langle0,2,0\rangle.

Passo 4

O produto vetorial em t=0 é
\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0) =\langle1,1,1\rangle\times\langle0,2,0\rangle =\langle -2,0,2\rangle,
com norma \sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}. Além disso \|\mathbf{r}'(0)\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Portanto a curvatura no ponto (1,0,0) é
\kappa_1=\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^3} =\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{6}}{9}.

Passo 5

Agora para \mathbf{r}(t)=\langle t,\;t^2,\;t^3\rangle, o ponto (1,1,1) ocorre em t_0=1.

Passo 6

As derivadas são
\mathbf{r}'(t)=\langle1,2t,3t^2\rangle,\quad \mathbf{r}''(t)=\langle0,2,6t\rangle,
logo em t=1 \mathbf{r}'(1)=\langle1,2,3\rangle e \mathbf{r}''(1)=\langle0,2,6\rangle.

Passo 7

O produto vetorial em t=1 é
\mathbf{r}'(1)\times\mathbf{r}''(1) =\langle1,2,3\rangle\times\langle0,2,6\rangle =\langle6,-6,2\rangle,
com norma \sqrt{6^2+(-6)^2+2^2}=2\sqrt{19}. E \|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Assim a curvatura no ponto (1,1,1) é
\kappa_2=\frac{2\sqrt{19}}{(\sqrt{14})^3} =\frac{2\sqrt{19}}{14\sqrt{14}} =\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.

Resposta

(a) \displaystyle \kappa=\frac{2\sqrt{6}}{9}.
(b) \displaystyle \kappa=\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.

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