Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} 4 y \operatorname{sec} ^{2} x+\frac{2 x}{y} d A \quad R=\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \times[1,5]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\Bigl(4\,y\,\operatorname{sec}^2 x \;+\;\frac{2\,x}{y}\Bigr)\,dA
sobre o retângulo R = [0,\tfrac\pi4]\times[1,5], usando duas ordens de integração.
Conteúdo principal: Teorema de Fubini e antiderivadas de \operatorname{sec}^2 x, de x e de 1/y.

Passo 2

(i) Integramos primeiro em x. Por Fubini,
\iint_{R}(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y})\,dA =\int_{y=1}^{5}\Bigl[\int_{x=0}^{\pi/4}\bigl(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y}\bigr)\,dx\Bigr]dy.
Dentro de colchetes dividimos em duas integrais:
\int_{0}^{\pi/4}4y\operatorname{sec}^2 x\,dx =4y\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 x\,dx =4y\bigl[\tan x\bigr]_{0}^{\pi/4} =4y\cdot1=4y,
\int_{0}^{\pi/4}\frac{2x}{y}\,dx =\frac{2}{y}\int_{0}^{\pi/4}x\,dx =\frac{2}{y}\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{(\pi/4)^2}{y} =\frac{\pi^2}{16\,y}.
Logo a integral interna vale 4y + \tfrac{\pi^2}{16y}.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{1}^{5}\Bigl(4y + \frac{\pi^2}{16\,y}\Bigr)\,dy =\int_{1}^{5}4y\,dy \;+\;\frac{\pi^2}{16}\int_{1}^{5}\frac{1}{y}\,dy.
Calculamos:
\int_{1}^{5}4y\,dy =2\,y^2\Big|_{1}^{5} =2(25-1)=48,
\int_{1}^{5}\frac{1}{y}\,dy =\bigl[\ln y\bigr]_{1}^{5} =\ln5.
Então o resultado é
48 \;+\;\frac{\pi^2}{16}\,\ln5.

Passo 4

(ii) Agora integramos primeiro em y. Por Fubini,
\iint_{R}(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y})\,dA =\int_{x=0}^{\pi/4}\Bigl[\int_{y=1}^{5}\bigl(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y}\bigr)\,dy\Bigr]dx.
Dentro de colchetes:
\int_{1}^{5}4y\operatorname{sec}^2 x\,dy =4\operatorname{sec}^2 x\int_{1}^{5}y\,dy =4\operatorname{sec}^2 x\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_{1}^{5} =2\operatorname{sec}^2 x\,(25-1) =48\,\operatorname{sec}^2 x,
\int_{1}^{5}\frac{2x}{y}\,dy =2x\int_{1}^{5}\frac{1}{y}\,dy =2x\,\ln5.
Logo a integral interna é 48\operatorname{sec}^2 x + 2x\ln5.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(48\operatorname{sec}^2 x + 2x\ln5\bigr)\,dx =48\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 x\,dx +2\ln5\int_{0}^{\pi/4}x\,dx.
Calculamos:
48\bigl[\tan x\bigr]_{0}^{\pi/4} =48\cdot1=48, \quad 2\ln5\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\ln5\cdot\frac{\pi^2}{16} =\frac{\pi^2}{16}\,\ln5.
Somando, obtemos novamente
48 + \frac{\pi^2}{16}\,\ln5.

Resposta

(i) 48 + \dfrac{\pi^2}{16}\ln5
(ii) 48 + \dfrac{\pi^2}{16}\ln5

Exercícios relacionados