Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro. \iint_{R} 4 y \operatorname{sec} ^{2} x+\frac{2 x}{y} d A \quad R=\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \times[1,5]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\Bigl(4\,y\,\operatorname{sec}^2 x \;+\;\frac{2\,x}{y}\Bigr)\,dA
sobre o retângulo R = [0,\tfrac\pi4]\times[1,5], usando duas ordens de integração.
Conteúdo principal: Teorema de Fubini e antiderivadas de \operatorname{sec}^2 x, de x e de 1/y.
Passo 2
(i) Integramos primeiro em x. Por Fubini,
\iint_{R}(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y})\,dA =\int_{y=1}^{5}\Bigl[\int_{x=0}^{\pi/4}\bigl(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y}\bigr)\,dx\Bigr]dy.
\iint_{R}(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y})\,dA =\int_{x=0}^{\pi/4}\Bigl[\int_{y=1}^{5}\bigl(4y\operatorname{sec}^2 x + \tfrac{2x}{y}\bigr)\,dy\Bigr]dx.