Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
em duas ordens de integração: (i) primeiro em
e depois em
; (ii) primeiro em
e depois em
.
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em retângulos, e a integração de funções separáveis em e
.
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em retângulos, e a integração de funções separáveis em
Passo 2
(i) Integração em
primeiro:
Calculando as integrais de 1 e de
:
Logo o integrando reduz a
Passo 3
Agora integramos em
de
a
:
Como
é função ímpar num intervalo simétrico,
E
Portanto
Passo 4
(ii) Integração em
primeiro:
Como antes,
e
, vem
Agora integramos em
de
a
:
Passo 5
Em ambas as ordens de integração o resultado coincide, como previsto pelo Teorema de Fubini.