Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} y^{5}-x^{2} e^{y} d A \quad R=[-1,2] \times[-3,3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{R}\bigl(y^{5}-x^{2}e^{y}\bigr)\,dA \quad\text{com}\quad R=[-1,2]\times[-3,3]
em duas ordens de integração: (i) primeiro em x e depois em y; (ii) primeiro em y e depois em x.
O conteúdo principal é o Teorema de Fubini, que permite trocar a ordem de integração em retângulos, e a integração de funções separáveis em x e y.

Passo 2

(i) Integração em x primeiro:
\int_{x=-1}^{2}\bigl(y^{5}-x^{2}e^{y}\bigr)\,dx = y^{5}\int_{-1}^{2}1\,dx \;-\; e^{y}\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx.
Calculando as integrais de 1 e de x^2:
\int_{-1}^{2}1\,dx = 3, \qquad \int_{-1}^{2}x^{2}\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2} = \tfrac{8-(-1)}{3} = 3.
Logo o integrando reduz a
3\,y^{5} \;-\; 3\,e^{y}.

Passo 3

Agora integramos em y de -3 a 3:
\int_{-3}^{3}\bigl(3y^{5}-3e^{y}\bigr)\,dy =3\int_{-3}^{3}y^{5}\,dy \;-\;3\int_{-3}^{3}e^{y}\,dy.
Como y^{5} é função ímpar num intervalo simétrico,
\int_{-3}^{3}y^{5}\,dy = 0.
E
\int_{-3}^{3}e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{-3}^{3} = e^{3}-e^{-3}.
Portanto
\int_{-3}^{3}\bigl(3y^{5}-3e^{y}\bigr)\,dy = -3\,(e^{3}-e^{-3}) =3\,(e^{-3}-e^{3}).

Passo 4

(ii) Integração em y primeiro:
\int_{y=-3}^{3}\bigl(y^{5}-x^{2}e^{y}\bigr)\,dy =\int_{-3}^{3}y^{5}\,dy \;-\;x^{2}\int_{-3}^{3}e^{y}\,dy.
Como antes, \int_{-3}^{3}y^{5}\,dy=0 e \int_{-3}^{3}e^{y}\,dy=e^{3}-e^{-3}, vem
\int_{-3}^{3}\bigl(y^{5}-x^{2}e^{y}\bigr)\,dy = -x^{2}\,(e^{3}-e^{-3}) = x^{2}\,(e^{-3}-e^{3}).
Agora integramos em x de -1 a 2:
\int_{-1}^{2}x^{2}\,(e^{-3}-e^{3})\,dx =(e^{-3}-e^{3}) \int_{-1}^{2}x^{2}\,dx =(e^{-3}-e^{3})\cdot3 =3\,(e^{-3}-e^{3}).

Passo 5

Em ambas as ordens de integração o resultado coincide, como previsto pelo Teorema de Fubini.

Resposta

3\,(e^{-3}-e^{3}).

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