Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
no retângulo
, em duas ordens: primeiro integrando em
e depois em
, e vice-versa.
Vamos usar o teorema de Fubini (pode trocar a ordem de integração em retângulo), além de separar a integral em parte que depende só de e parte que depende só de
. Também faremos uma substituição para
e o cálculo direto de
.
Vamos usar o teorema de Fubini (pode trocar a ordem de integração em retângulo), além de separar a integral em parte que depende só de
Passo 2
Calcular
Use a substituição
, logo
, ou seja
.
Quando ,
; quando
,
.
Quando
Passo 3
Calcular
Trata-se de exponencial simples, pois
Logo
Passo 4
Integração em
primeiro:
No interno
Agora em
:
Passo 5
Integração em
primeiro:
No interno
Agora em
:
Confirma-se que ambos dão o mesmo valor.
Resposta
que equivale a