Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} \frac{x^{3}}{1+x^{4}}-\frac{1}{e^{3 y}} d A \quad R=[-1,0] \times[0,4]

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{R}\Bigl(\frac{x^{3}}{1+x^{4}}-\frac{1}{e^{3y}}\Bigr)\,dA
no retângulo R=[-1,0]\times[0,4], em duas ordens: primeiro integrando em x e depois em y, e vice-versa.
Vamos usar o teorema de Fubini (pode trocar a ordem de integração em retângulo), além de separar a integral em parte que depende só de x e parte que depende só de y. Também faremos uma substituição para \int x^3/(1+x^4)\,dx e o cálculo direto de \int e^{-3y}\,dy.

Passo 2

Calcular
\int_{-1}^{0}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx.
Use a substituição u=1+x^{4}, logo du=4x^{3}\,dx, ou seja x^{3}\,dx=du/4.
Quando x=-1, u=2; quando x=0, u=1.
\int_{-1}^{0}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx =\frac{1}{4}\int_{2}^{1}\frac{du}{u} =\frac{1}{4}\bigl[\ln u\bigr]_{2}^{1} =\frac{1}{4}(\ln1-\ln2) =-\frac{\ln2}{4}.

Passo 3

Calcular
\int_{0}^{4}e^{-3y}\,dy.
Trata-se de exponencial simples, pois
\int e^{-3y}\,dy =-\tfrac{1}{3}e^{-3y}.
Logo
\int_{0}^{4}e^{-3y}\,dy =-\tfrac{1}{3}\bigl[e^{-3y}\bigr]_{0}^{4} =-\tfrac{1}{3}(e^{-12}-1) =\tfrac{1}{3}(1-e^{-12}).

Passo 4

Integração em x primeiro:
\int_{y=0}^{4}\Bigl[\int_{x=-1}^{0}\Bigl(\frac{x^{3}}{1+x^{4}}-e^{-3y}\Bigr)\,dx\Bigr]dy.
No interno
\int_{-1}^{0}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx -\int_{-1}^{0}e^{-3y}\,dx =-\frac{\ln2}{4}-e^{-3y}\cdot\Bigl(0-(-1)\Bigr) =-\frac{\ln2}{4}-e^{-3y}.
Agora em y:
\int_{0}^{4}\Bigl(-\frac{\ln2}{4}-e^{-3y}\Bigr)dy =-\frac{\ln2}{4}\cdot4 -\int_{0}^{4}e^{-3y}\,dy =-\ln2-\frac{1}{3}(1-e^{-12}).

Passo 5

Integração em y primeiro:
\int_{x=-1}^{0}\Bigl[\int_{y=0}^{4}\Bigl(\frac{x^{3}}{1+x^{4}}-e^{-3y}\Bigr)\,dy\Bigr]dx.
No interno
\int_{0}^{4}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dy -\int_{0}^{4}e^{-3y}\,dy =\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\cdot4 -\frac{1}{3}(1-e^{-12}).
Agora em x:
\int_{-1}^{0}\Bigl(\frac{4x^{3}}{1+x^{4}}-\frac{1}{3}(1-e^{-12})\Bigr)dx =4\int_{-1}^{0}\frac{x^{3}}{1+x^{4}}\,dx -\frac{1}{3}(1-e^{-12})\int_{-1}^{0}dx =4\Bigl(-\frac{\ln2}{4}\Bigr) -\frac{1}{3}(1-e^{-12})\cdot1 =-\ln2-\frac{1}{3}(1-e^{-12}).
Confirma-se que ambos dão o mesmo valor.

Resposta

-\ln2-\frac{1}{3}\bigl(1-e^{-12}\bigr)
que equivale a
-\ln2-\frac{1}{3}+\frac{e^{-12}}{3}.

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