Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} x e^{x^{2}}-12 x^{3} \operatorname{sen}(\pi y) d A \quad R=[-2,0] \times\left[\frac{1}{2}, 1\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(xe^{x^{2}} \;-\;12x^{3}\sin(\pi y)\bigr)\,dA
no retângulo R=[-2,0]\times\bigl[\tfrac12,1\bigr], usando primeiro a ordem dx\,dy e depois dy\,dx. O conteúdo principal é o Teorema de Fubini (podemos trocar a ordem de integração) e a separabilidade da função em termos de x e y, além de antiderivadas elementares de x\,e^{x^{2}}, de x^{3} e de \sin(\pi y).

Passo 2

Integração em x primeiro:
\iint_{R}(\cdots)\,dA =\int_{y=\tfrac12}^{1}\!\int_{x=-2}^{0}\bigl(xe^{x^{2}}-12x^{3}\sin(\pi y)\bigr)\,dx\,dy.
Separe em duas integrais em x:
\int_{x=-2}^{0}xe^{x^{2}}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{x=-2}^{0}x^{3}\,dx
sabendo que
\int xe^{x^{2}}\,dx=\tfrac12e^{x^{2}}, \qquad \int x^{3}\,dx=\tfrac{x^{4}}{4}.
Logo,
\int_{x=-2}^{0}\!xe^{x^{2}}\,dx =\Bigl[\tfrac12e^{x^{2}}\Bigr]_{-2}^{0} =\tfrac12\bigl(e^{0}-e^{4}\bigr) =\tfrac{1-e^{4}}{2},
\int_{x=-2}^{0}\!(-12x^{3}\sin(\pi y))\,dx =-12\sin(\pi y)\,\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-2}^{0} =-12\sin(\pi y)\,\bigl(0-\,\tfrac{16}{4}\bigr) =48\sin(\pi y).
Somando, o integrando em y é
\int_{x=-2}^{0}\bigl(xe^{x^{2}}-12x^{3}\sin(\pi y)\bigr)dx =\frac{1-e^{4}}{2}+48\sin(\pi y).

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{y=\tfrac12}^{1}\Bigl(\frac{1-e^{4}}{2}+48\sin(\pi y)\Bigr)\,dy =\frac{1-e^{4}}{2}\int_{\tfrac12}^{1}\!dy +48\int_{\tfrac12}^{1}\!\sin(\pi y)\,dy.
A primeira parte é
\frac{1-e^{4}}{2}\bigl(1-\tfrac12\bigr) =\frac{1-e^{4}}{2}\cdot\tfrac12 =\frac{1-e^{4}}{4}.
Para a segunda,
\int\sin(\pi y)\,dy =-\frac{1}{\pi}\cos(\pi y),
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48\int_{\tfrac12}^{1}\!\sin(\pi y)\,dy =-\frac{48}{\pi}\bigl[\cos(\pi y)\bigr]_{\tfrac12}^{1} =-\frac{48}{\pi}\bigl(\cos\pi-\cos\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-\frac{48}{\pi}(-1-0) =\frac{48}{\pi}.

Passo 4

Somando as duas contribuições obtemos
\frac{1-e^{4}}{4}+\frac{48}{\pi}.

Passo 5

Integração em y primeiro:
\iint_{R}(\cdots)\,dA =\int_{x=-2}^{0}\!\int_{y=\tfrac12}^{1}\bigl(xe^{x^{2}}-12x^{3}\sin(\pi y)\bigr)\,dy\,dx.
Dentro, xe^{x^{2}} é constante em y e \int_{\tfrac12}^{1}\sin(\pi y)\,dy=1/\pi. Assim
\int_{y=\tfrac12}^{1}\bigl(xe^{x^{2}}\bigr)dy =xe^{x^{2}}\bigl(1-\tfrac12\bigr) =\tfrac12\,x e^{x^{2}},
\int_{y=\tfrac12}^{1}\bigl(-12x^{3}\sin(\pi y)\bigr)dy =-12x^{3}\cdot\frac{1}{\pi} =-\frac{12}{\pi}x^{3}.
O integrando em x fica
\int_{x=-2}^{0}\Bigl(\tfrac12x e^{x^{2}}-\frac{12}{\pi}x^{3}\Bigr)\,dx.
Calcule separadamente
\int\tfrac12x e^{x^{2}}\,dx =\tfrac14e^{x^{2}}, \qquad \int x^{3}\,dx=\tfrac{x^{4}}{4},
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\int_{-2}^{0}\tfrac12x e^{x^{2}}\,dx =\Bigl[\tfrac14e^{x^{2}}\Bigr]_{-2}^{0} =\tfrac14(1-e^{4}),
\int_{-2}^{0}-\frac{12}{\pi}x^{3}\,dx =-\frac{12}{\pi}\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-2}^{0} =-\frac{12}{\pi}\bigl(0-4\cdot 1\bigr) =\frac{48}{\pi}.
Somando dá novamente
\frac{1-e^{4}}{4}+\frac{48}{\pi}.

Resposta

\iint_{R}\bigl(xe^{x^{2}}-12x^{3}\sin(\pi y)\bigr)\,dA =\frac{1-e^{4}}{4}+\frac{48}{\pi}.

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