Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
no retângulo
, usando primeiro a ordem
e depois
. O conteúdo principal é o Teorema de Fubini (podemos trocar a ordem de integração) e a separabilidade da função em termos de
e
, além de antiderivadas elementares de
, de
e de
.
Passo 2
Integração em
primeiro:
Separe em duas integrais em
:
sabendo que
Logo,
Somando, o integrando em
é
Passo 3
Agora integramos em
:
A primeira parte é
Para a segunda,
logo
Passo 4
Somando as duas contribuições obtemos
Passo 5
Integração em
primeiro:
Dentro,
é constante em
e
. Assim
O integrando em
fica
Calcule separadamente
logo
Somando dá novamente