Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.
Como a função é contínua num retângulo, pelo Teorema de Fubini podemos integrar em qualquer ordem. Vamos usar substituições simples para obter antiderivadas em cada caso.
Como a função é contínua num retângulo, pelo Teorema de Fubini podemos integrar em qualquer ordem. Vamos usar substituições simples para obter antiderivadas em cada caso.
Passo 2
(i) Integrando primeiro em
:
Mantemos fixo e calculamos
Mantemos
Fazendo a substituição
temos
Como
, segue
Agora integramos em
:
Passo 3
(ii) Integrando primeiro em
:
Mantemos fixo e calculamos
Mantemos
Fazendo a substituição
temos
Como esse resultado é zero para todo
, a integral em
de
a
também vale
.
Resposta
O valor da integral dupla é
em ambas as ordens de integração.