Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} x \cos \left(4 y+3 x^{2}\right) d A \quad R=[0, \sqrt{\pi}] \times\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\cos\bigl(4y+3x^{2}\bigr)\,dA
onde R=[0,\sqrt{\pi}]\times\bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr].
Como a função é contínua num retângulo, pelo Teorema de Fubini podemos integrar em qualquer ordem. Vamos usar substituições simples para obter antiderivadas em cada caso.

Passo 2

(i) Integrando primeiro em x:
Mantemos y fixo e calculamos
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\cos\bigl(4y+3x^{2}\bigr)\,dx.
Fazendo a substituição
u = 4y+3x^{2},\qquad du = 6x\,dx\;\Longrightarrow\;x\,dx = \tfrac{1}{6}\,du,
temos
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\cos\bigl(4y+3x^{2}\bigr)\,dx = \int_{u=4y}^{\,4y+3\pi} \cos(u)\,\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\bigl[\sin(u)\bigr]_{4y}^{\,4y+3\pi}.
Como \sin(4y+3\pi)=-\sin(4y), segue
\frac{1}{6}\bigl(-\sin(4y)-\sin(4y)\bigr) = -\frac{1}{3}\sin(4y).
Agora integramos em y:
\int_{\pi/2}^{\pi}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\sin(4y)\Bigr)dy = -\tfrac{1}{3}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin(4y)\,dy = -\tfrac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{4}\cos(4y)\Bigr)_{\pi/2}^{\pi} = \tfrac{1}{12}\bigl[\cos(4\pi)-\cos(2\pi)\bigr] =0.

Passo 3

(ii) Integrando primeiro em y:
Mantemos x fixo e calculamos
\int_{\pi/2}^{\pi} x\cos\bigl(4y+3x^{2}\bigr)\,dy = x\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\bigl(4y+3x^{2}\bigr)\,dy.
Fazendo a substituição
t = 4y+3x^{2},\qquad dt = 4\,dy\;\Longrightarrow\;dy = \tfrac{1}{4}dt,
temos
x\int_{t=2\pi+3x^{2}}^{\,4\pi+3x^{2}} \cos(t)\,\frac{dt}{4} = \frac{x}{4}\bigl[\sin(t)\bigr]_{2\pi+3x^{2}}^{\,4\pi+3x^{2}} = \frac{x}{4}\bigl(\sin(3x^{2})-\sin(3x^{2})\bigr) =0.
Como esse resultado é zero para todo x, a integral em x de 0 a \sqrt{\pi} também vale 0.

Resposta

O valor da integral dupla é 0 em ambas as ordens de integração.

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