Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} \frac{\ln (4 x y)}{x y} d A \quad R=[1,2] \times[3,4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \iint_{R} \frac{\ln(4xy)}{xy}\,dA,
no retângulo R = [1,2]\times[3,4], de duas maneiras:
(i) integrando primeiro em x e depois em y,
(ii) integrando primeiro em y e depois em x.
Para resolver vamos usar as propriedades de integração iterada, a separação em termos de \ln e as fórmulas
\int \frac{dx}{x} = \ln x, \qquad \int \frac{\ln x}{x}\,dx = \tfrac12(\ln x)^2.

Passo 2

Integração em x primeiro.
Escrevemos
\frac{\ln(4xy)}{xy} =\frac{\ln4}{xy}+\frac{\ln x}{xy}+\frac{\ln y}{xy},
logo
\int_{x=1}^{2}\frac{\ln(4xy)}{xy}\,dx =\frac{\ln4}{y}\int_{1}^{2}\frac{dx}{x} +\frac1y\int_{1}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx +\frac{\ln y}{y}\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}.
Calculando cada integral:
\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}=\ln2, \qquad \int_{1}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx =\tfrac12(\ln2)^2.
Logo o resultado interno é
\frac{\ln4}{y}\,\ln2 +\frac1y\cdot\tfrac12(\ln2)^2 +\frac{\ln y}{y}\,\ln2 =\frac{1}{y}\Bigl(2(\ln2)^2+\tfrac12(\ln2)^2+\ln2\,\ln y\Bigr) =\frac{(5/2)(\ln2)^2+\ln2\,\ln y}{y}.
Agora integramos em y:
I =\int_{3}^{4}\frac{(5/2)(\ln2)^2+\ln2\,\ln y}{y}\,dy =(5/2)(\ln2)^2\int_{3}^{4}\frac{dy}{y} +\ln2\int_{3}^{4}\frac{\ln y}{y}\,dy.
Usamos \displaystyle\int_{3}^{4}\frac{dy}{y}=\ln\frac{4}{3} e \displaystyle\int_{3}^{4}\frac{\ln y}{y}\,dy =\tfrac12\bigl[(\ln4)^2-(\ln3)^2\bigr].
Substituindo e simplificando \ln4=2\ln2, chega-se a
I =7(\ln2)^3-\tfrac52(\ln2)^2\ln3-\tfrac12\,\ln2\;(\ln3)^2.

Passo 3

Integração em y primeiro.
Analogamente escrevemos
\int_{y=3}^{4}\frac{\ln(4xy)}{xy}\,dy =\frac{\ln4}{x}\int_{3}^{4}\frac{dy}{y} +\frac{\ln x}{x}\int_{3}^{4}\frac{dy}{y} +\frac1x\int_{3}^{4}\frac{\ln y}{y}\,dy
e usamos os mesmos resultados \displaystyle\int_{3}^{4}\tfrac{dy}{y}=\ln\frac{4}{3} e \displaystyle\int_{3}^{4}\tfrac{\ln y}{y}dy =\tfrac12[(\ln4)^2-(\ln3)^2].
Isso dá uma função de x que, ao integrar de 1 a 2 e simplificar, produz exatamente
I =7(\ln2)^3-\tfrac52(\ln2)^2\ln3-\tfrac12\,\ln2\;(\ln3)^2.

Passo 4

Concluímos que, tanto integrando em x primeiro quanto em y primeiro, obtemos o mesmo valor para a integral dupla.

Resposta

\boxed{ I =7(\ln2)^3-\frac52(\ln2)^2\ln3-\frac12\,\ln2\;(\ln3)^2. }

Exercícios relacionados