Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
no retângulo
, de duas maneiras:
(i) integrando primeiro em e depois em
,
(ii) integrando primeiro em e depois em
.
Para resolver vamos usar as propriedades de integração iterada, a separação em termos de e as fórmulas
(i) integrando primeiro em
(ii) integrando primeiro em
Para resolver vamos usar as propriedades de integração iterada, a separação em termos de
Passo 2
Integração em
primeiro.
Escrevemos
Escrevemos
logo
Calculando cada integral:
Logo o resultado interno é
Agora integramos em
:
Usamos
e
.
Substituindo e simplificando , chega-se a
Substituindo e simplificando
Passo 3
Integração em
primeiro.
Analogamente escrevemos
Analogamente escrevemos
e usamos os mesmos resultados
e
.
Isso dá uma função de que, ao integrar de
a
e simplificar, produz exatamente
Isso dá uma função de
Passo 4
Concluímos que, tanto integrando em
primeiro quanto em
primeiro, obtemos o mesmo valor para a integral dupla.