Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
onde
. Vamos aplicar o teorema de Fubini para (i) integrar primeiro em
e depois em
, e (ii) integrar primeiro em
e depois em
. Em cada caso usaremos mudança de variável do tipo
ou
, pois aparecem fatores
e
.
Passo 2
(i) Integração em
primeiro: para
fixo,
Fazendo
,
, ou seja
, e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Logo,
Portanto a integral em
é
Passo 3
Agora integramos em
de
a
:
Fazendo
,
, ou
, e
vai de
a
. Então
Multiplicando pelo fator
, obtemos para (i)
Passo 4
(ii) Integração em
primeiro: para
fixo,
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
como no passo 2. Logo para (ii) obtemos
Resposta
(i)
(ii)
(ii)