Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} x^{2} y^{3} e^{x^{3}-y^{4}} d A \quad R=[0,1] \times[-1,0]

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y^{3}e^{x^{3}-y^{4}}\,dA,
onde R=[0,1]\times[-1,0]. Vamos aplicar o teorema de Fubini para (i) integrar primeiro em x e depois em y, e (ii) integrar primeiro em y e depois em x. Em cada caso usaremos mudança de variável do tipo t=x^3 ou u=y^4, pois aparecem fatores x^2\,dx e y^3\,dy.

Passo 2

(i) Integração em x primeiro: para y fixo,
\int_{0}^{1}x^{2}y^{3}e^{x^{3}-y^{4}}\,dx = y^{3}e^{-y^{4}}\int_{0}^{1}x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
Fazendo t=x^{3}, dt=3x^{2}dx, ou seja x^{2}dx=dt/3, e quando x vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Logo,
\int_{0}^{1}x^{2}e^{x^{3}}\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}e^{t}\,dt =\frac{1}{3}(e-1).
Portanto a integral em x é
y^{3}e^{-y^{4}}\cdot\frac{e-1}{3}.

Passo 3

Agora integramos em y de -1 a 0:
\int_{-1}^{0}y^{3}e^{-y^{4}}\,dy.
Fazendo u=y^{4}, du=4y^{3}dy, ou y^{3}dy=du/4, e u vai de 1 a 0. Então
\int_{-1}^{0}y^{3}e^{-y^{4}}\,dy =\frac{1}{4}\int_{1}^{0}e^{-u}\,du =\frac{1}{4}\bigl(e^{-1}-1\bigr).
Multiplicando pelo fator (e-1)/3, obtemos para (i)
\frac{e-1}{3}\cdot\frac{e^{-1}-1}{4} =\frac{(e-1)(e^{-1}-1)}{12} =\frac{2-e-e^{-1}}{12}.

Passo 4

(ii) Integração em y primeiro: para x fixo,
\int_{-1}^{0}x^{2}y^{3}e^{x^{3}-y^{4}}\,dy =x^{2}e^{x^{3}}\int_{-1}^{0}y^{3}e^{-y^{4}}\,dy =x^{2}e^{x^{3}}\cdot\frac{e^{-1}-1}{4}.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^{2}e^{x^{3}}\,dx =\frac{e-1}{3},
como no passo 2. Logo para (ii) obtemos
\frac{e^{-1}-1}{4}\cdot\frac{e-1}{3} =\frac{(e-1)(e^{-1}-1)}{12} =\frac{2-e-e^{-1}}{12}.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{2-e-e^{-1}}{12}
(ii) \displaystyle \frac{2-e-e^{-1}}{12}

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