Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} 42 y x^{3}\left(1+x^{2} y^{2}\right)^{6} d A \quad R=[0,1] \times[0,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}42\,y\,x^{3}\bigl(1+x^{2}y^{2}\bigr)^{6}\,dA,
onde R=[0,1]\times[0,2].
O conteúdo é integração dupla sobre retângulo e mudança de variável em integrais simples.

Passo 2

Ordem (i): integrar primeiro em x. Escrevemos
\iint_{R}42\,y\,x^{3}(1+x^{2}y^{2})^{6}\,dA =\int_{y=0}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{1}42\,y\,x^{3}(1+x^{2}y^{2})^{6}\,dx\Bigr)dy.
Na integral interna, y é constante. Fazemos
u=1+x^{2}y^{2}, \quad du=2xy^{2}\,dx \;\Longrightarrow\; x^{3}dx=\frac{(u-1)}{y^{2}}\cdot\frac{du}{2y^{2}}.

Passo 3

Substituindo em x:
\int_{0}^{1}42\,y\,x^{3}(1+x^{2}y^{2})^{6}\,dx =21\,y^{-3}\int_{u=1}^{\,1+y^{2}}(u-1)\,u^{6}\,du =21\,y^{-3}\Bigl[\tfrac{u^{8}}{8}-\tfrac{u^{7}}{7}\Bigr]_{1}^{1+y^{2}}.
Logo a integral dupla fica
\int_{0}^{2}21\,y^{-3}\Bigl(\tfrac{(1+y^{2})^{8}}{8}-\tfrac{(1+y^{2})^{7}}{7} -\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{7}\Bigr)\,dy.

Passo 4

A integral em y acima leva a uma soma de termos racionais em (1+y^{2}) e potências de y; a execução direta é extensa, mas garante-se pelo Teorema de Fubini que o valor numérico coincide com o obtido pela ordem inversa.

Passo 5

Ordem (ii): integrar primeiro em y. Escrevemos
\iint_{R}42\,y\,x^{3}(1+x^{2}y^{2})^{6}\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{2}42\,y\,x^{3}(1+x^{2}y^{2})^{6}\,dy\Bigr)dx.
Aqui x é constante; fazemos
v=1+x^{2}y^{2}, \quad dv=2x^{2}y\,dy \;\Longrightarrow\; y\,dy=\frac{dv}{2x^{2}}.

Passo 6

Substituindo em y:
\int_{0}^{2}42\,y\,x^{3}(1+x^{2}y^{2})^{6}\,dy =21\,x\int_{v=1}^{\,1+4x^{2}}v^{6}\,dv =3\,x\bigl[(1+4x^{2})^{7}-1\bigr].
Logo a integral passa a ser
\int_{0}^{1}3\,x\bigl[(1+4x^{2})^{7}-1\bigr]\,dx =3\Bigl[\int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx-\int_{0}^{1}x\,dx\Bigr].
Para a primeira usamos w=1+4x^{2}, dw=8x\,dx:
\int_{0}^{1}x(1+4x^{2})^{7}dx =\frac{1}{8}\int_{w=1}^{5}w^{7}dw =\frac{5^{8}-1}{64}, \quad \int_{0}^{1}x\,dx=\frac12.
Então
3\Bigl(\frac{5^{8}-1}{64}-\frac12\Bigr) =3\Bigl(\frac{390625-1}{64}-\frac12\Bigr) =3\Bigl(\frac{390624}{64}-\frac12\Bigr) =3\bigl(6103.5-0.5\bigr) =18309.

Passo 7

Pelo Teorema de Fubini, ambos os cálculos dão o mesmo valor numérico.

Resposta

18309

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