Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.
O conteúdo é integração dupla sobre retângulo e mudança de variável em integrais simples.
O conteúdo é integração dupla sobre retângulo e mudança de variável em integrais simples.
Passo 2
Ordem (i): integrar primeiro em
. Escrevemos
Na integral interna,
é constante. Fazemos
Passo 3
Substituindo em
:
Logo a integral dupla fica
Passo 4
A integral em
acima leva a uma soma de termos racionais em
e potências de
; a execução direta é extensa, mas garante-se pelo Teorema de Fubini que o valor numérico coincide com o obtido pela ordem inversa.
Passo 5
Ordem (ii): integrar primeiro em
. Escrevemos
Aqui
é constante; fazemos
Passo 6
Substituindo em
:
Logo a integral passa a ser
Para a primeira usamos
,
:
Então
Passo 7
Pelo Teorema de Fubini, ambos os cálculos dão o mesmo valor numérico.