Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
No enunciado temos a integral dupla
com
O conteúdo da matéria é o Teorema de Fubini e mudanças de variável em integrais simples. Vamos calcular em duas ordens de integração.
Passo 2
Primeiro integramos em
para
fixo. Escrevemos
Passo 3
Para a integral em
, fazemos
, de modo que
. Então
Substituindo em
, a integral dupla vira
Passo 4
Calculamos em dois pedaços. Para
fazemos , então
. Assim
fazemos
Para
fazemos ,
. Logo
fazemos
Subtraindo os dois resultados, obtemos
Passo 5
Agora trocamos a ordem de integração:
Passo 6
No interior usamos
, logo
,
e
Os limites em
correspondem a
, de modo que
Passo 7
Isso leva ao integral em
Pela garantia do Teorema de Fubini, esse valor coincide com o que já obtivemos no cálculo anterior.