Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} \frac{\cos \left(\frac{x}{y}\right)}{y^{3}} d A \quad R=\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \times[1,2]

Passo 1

No enunciado temos a integral dupla
\iint_{R} \frac{\cos\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}{y^{3}}\,dA,
com
R = \bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr]\times[1,2].
O conteúdo da matéria é o Teorema de Fubini e mudanças de variável em integrais simples. Vamos calcular em duas ordens de integração.

Passo 2

Primeiro integramos em x para y fixo. Escrevemos
\iint_{R}\frac{\cos\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}{y^{3}}\,dA =\int_{y=1}^{2}\Bigl(\int_{x=\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\cos\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}{y^{3}}\,dx\Bigr)dy =\int_{1}^{2}\frac{1}{y^{3}}\Bigl(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,dx\Bigr)dy.

Passo 3

Para a integral em x, fazemos u=\tfrac{x}{y}, de modo que dx=y\,du. Então
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,dx =y\int_{u=\frac{\pi}{2y}}^{\frac{\pi}{y}}\cos(u)\,du =y\bigl[\sin(u)\bigr]_{u=\frac{\pi}{2y}}^{\frac{\pi}{y}} =y\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{y})-\sin(\tfrac{\pi}{2y})\bigr).
Substituindo em y, a integral dupla vira
\int_{1}^{2}\frac{y\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{y})-\sin(\tfrac{\pi}{2y})\bigr)}{y^{3}}\,dy =\int_{1}^{2}\frac{\sin(\tfrac{\pi}{y})-\sin(\tfrac{\pi}{2y})}{y^{2}}\,dy.

Passo 4

Calculamos em dois pedaços. Para \displaystyle \int_{1}^{2}\frac{\sin(\tfrac{\pi}{y})}{y^{2}}\,dy
fazemos v=\tfrac{\pi}{y}, então dv=-\tfrac{\pi}{y^{2}}dy. Assim
\int_{1}^{2}\frac{\sin(\tfrac{\pi}{y})}{y^{2}}\,dy =\frac{1}{\pi}\int_{v=\pi}^{\frac{\pi}{2}}\sin(v)\,(-dv) =\frac{1}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(v)\,dv =\frac{1}{\pi}.
Para \displaystyle \int_{1}^{2}\frac{\sin(\tfrac{\pi}{2y})}{y^{2}}\,dy
fazemos w=\tfrac{\pi}{2y}, dw=-\tfrac{\pi}{2y^{2}}dy. Logo
\int_{1}^{2}\frac{\sin(\tfrac{\pi}{2y})}{y^{2}}\,dy =\frac{2}{\pi}\int_{w=\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(w)\,dw =\frac{\sqrt{2}}{\pi}.
Subtraindo os dois resultados, obtemos
\iint_{R}\frac{\cos(\tfrac{x}{y})}{y^{3}}\,dA =\frac{1}{\pi}-\frac{\sqrt{2}}{\pi} =\frac{1-\sqrt{2}}{\pi}.

Passo 5

Agora trocamos a ordem de integração:
\iint_{R}\frac{\cos\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}{y^{3}}\,dA =\int_{x=\frac{\pi}{2}}^{\pi}\Bigl(\int_{y=1}^{2}\frac{\cos(\tfrac{x}{y})}{y^{3}}\,dy\Bigr)dx.

Passo 6

No interior usamos u=\tfrac{x}{y}, logo y=\tfrac{x}{u}, dy=-\tfrac{x}{u^{2}}du e
\frac{\cos(\tfrac{x}{y})}{y^{3}}dy =\cos(u)\,\frac{u^{3}}{x^{3}}\Bigl(-\frac{x}{u^{2}}du\Bigr) =-\frac{1}{x^{2}}\,u\cos(u)\,du.
Os limites em y=1\to2 correspondem a u=x\to\tfrac{x}{2}, de modo que
\int_{1}^{2}\frac{\cos(\tfrac{x}{y})}{y^{3}}\,dy =\frac{1}{x^{2}}\int_{u=\frac{x}{2}}^{x}u\cos(u)\,du =\frac{1}{x^{2}}\Bigl[\;u\sin(u)+\cos(u)\Bigr]_{u=\frac{x}{2}}^{u=x}.

Passo 7

Isso leva ao integral em x
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{1}{x^{2}}\Bigl[x\sin(x)+\cos(x)-\bigl(\tfrac{x}{2}\sin(\tfrac{x}{2})+\cos(\tfrac{x}{2})\bigr)\Bigr]dx.
Pela garantia do Teorema de Fubini, esse valor coincide com o que já obtivemos no cálculo anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{\pi}

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