Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável x primeiro e (ii) com respeito a variável y primeiro.
\iint_{R} \frac{x \cos \left(\frac{x}{y}\right)}{y^{2}} d A \quad R=\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \times[1,2]

Passo 1

O enunciado pede que a gente compute
\iint_{R}\frac{x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}{y^{2}}\,dA
no retângulo R=[\tfrac{\pi}{2},\pi]\times[1,2], primeiro integrando em x e depois em y, e em seguida trocando a ordem (primeiro em y, depois em x). O conteúdo usado será integral dupla por iteração e mudança de variável nas integrais simples que aparecem.

Passo 2

Integração em x primeiro:
\int_{x=\pi/2}^{\pi}\frac{x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}{y^{2}}\,dx.
Para simplificar, fazemos a substituição
u=\frac{x}{y},\quad dx=y\,du,
que leva x\cos(x/y)/y^{2}\,dx a
\frac{y\,u\cos(u)}{y^{2}}\;y\,du =\;u\cos(u)\,du.
Logo a integral interna vira
\int_{u=\frac{\pi}{2y}}^{\frac{\pi}{y}}u\cos(u)\,du =\Bigl[u\sin u+\cos u\Bigr]_{u=\frac{\pi}{2y}}^{u=\frac{\pi}{y}}.
Observamos então que, como função de y,
F(y) =\Bigl(\tfrac{\pi}{y}\sin\!\tfrac{\pi}{y}+\cos\!\tfrac{\pi}{y}\Bigr) -\Bigl(\tfrac{\pi}{2y}\sin\!\tfrac{\pi}{2y}+\cos\!\tfrac{\pi}{2y}\Bigr)
é exatamente
\frac{d}{dy}\Bigl[y\cos\!\tfrac{\pi}{y}-y\cos\!\tfrac{\pi}{2y}\Bigr].

Passo 3

Agora integramos F(y) de y=1 a y=2 usando a primitiva acima:
\int_{1}^{2}F(y)\,dy =\Bigl[y\cos\!\tfrac{\pi}{y}-y\cos\!\tfrac{\pi}{2y}\Bigr]_{1}^{2}.
Calculando:
H(y)=y\cos\!\tfrac{\pi}{y}-y\cos\!\tfrac{\pi}{2y}, \quad H(2)=2\cos\!\tfrac{\pi}{2}-2\cos\!\tfrac{\pi}{4} =-2\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2,
H(1)=1\cos\!\pi-1\cos\!\tfrac{\pi}{2}=-1-0=-1.
Logo
\int_{1}^{2}F(y)\,dy =H(2)-H(1) =-\sqrt2-(-1) =1-\sqrt2.

Passo 4

Integração em y primeiro:
\int_{y=1}^{2}\frac{x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}{y^{2}}\,dy.
Usamos w=\tfrac{x}{y}, logo y=\tfrac{x}{w},
dy=-\frac{x}{w^{2}}\,dw,
e o integrando vira
\frac{x\cos(w)}{(x/w)^{2}}\bigl(-\tfrac{x}{w^{2}}dw\bigr) =-\cos(w)\,dw.
Os limites vão de w=x/1=x até w=x/2, então
\int_{1}^{2}\cdots dy =\int_{w=x}^{x/2}-\cos(w)\,dw =\int_{w=x/2}^{x}\cos(w)\,dw =\bigl[\sin w\bigr]_{x/2}^{x} =\sin x-\sin\!\tfrac{x}{2}.

Passo 5

Resta integrar em x de \pi/2 a \pi:
\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(\sin x-\sin\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx =\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx -\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\tfrac{x}{2}\,dx.
Calculamos separadamente:
\int\sin x\,dx=-\cos x \quad\Longrightarrow\quad \int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx =-\cos\pi-(-\cos\tfrac{\pi}{2})=1.
\int\sin\tfrac{x}{2}\,dx =-2\cos\tfrac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad \int_{\pi/2}^{\pi}\sin\tfrac{x}{2}\,dx =\bigl[-2\cos\tfrac{x}{2}\bigr]_{\pi/2}^{\pi} =2\cos\tfrac{\pi}{4}=2\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.
Logo
\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(\sin x-\sin\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx =1-\sqrt2.

Passo 6

Ambas as ordens de integração dão o mesmo resultado, como esperado.

Resposta

1-\sqrt2

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