Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado integrando (i) com respeito a variável
primeiro e (ii) com respeito a variável
primeiro.
Passo 1
O enunciado pede que a gente compute
no retângulo
, primeiro integrando em
e depois em
, e em seguida trocando a ordem (primeiro em
, depois em
). O conteúdo usado será integral dupla por iteração e mudança de variável nas integrais simples que aparecem.
Passo 2
Integração em
primeiro:
Para simplificar, fazemos a substituição
que leva
a
Logo a integral interna vira
Observamos então que, como função de
,
é exatamente
Passo 3
Agora integramos
de
a
usando a primitiva acima:
Calculando:
Logo
Passo 4
Integração em
primeiro:
Usamos
, logo
,
e o integrando vira
Os limites vão de
até
, então
Passo 5
Resta integrar em
de
a
:
Calculamos separadamente:
Logo
Passo 6
Ambas as ordens de integração dão o mesmo resultado, como esperado.