Calcule a integral dupla em D quando f(x, y)=x y.
Transforme a soma das integrais duplas
integral-1^0 integral-raizx+1^raizx+1 f(x, y) d y d x+integral0^1 integral-raiz1-x^raiz1-x f(x, y) d y d x
em uma única integral dupla numa região D conveniente.

Passo 1

O enunciado pede para juntar as duas integrais
integral-1^0integral-raizx+1^raizx+1x y,dy,dx +integral0^1integral-raiz1-x^raiz1-xx y,dy,dx
numa única integral dupla sobre uma região D e depois calcular essa integral para f(x,y)=xy. Vamos identificar D e usar propriedades de simetria para facilitar o cálculo.

Passo 2

Para a primeira parte temos
;xin[-1,0] e |y|<=raizx+1, ou seja
y^2 <= x+1 Long<=ftrightarrow x>= y^2-1
Para a segunda parte temos
;xin[0,1] e |y|<=raiz1-x, ou seja
y^2<=1-x Long<=ftrightarrow x<=1-y^2
Juntando as duas, vemos que y^2 varia de 0 a 1, isto é yin[-1,1], e para cada y temos
y^2-1<= x<=1-y^2

Passo 3

Logo a soma das duas integrais vira
integraly=-1^1 integralx,=,y^2-1^,1-y^2 x,y;dx,dy,
que é a integral de f(x,y)=xy sobre a região
D=l(x,y)mid -1<= y<=1,;y^2-1<= x<=1-y^2r

Passo 4

Para cada y fixo, o integrando x,y é função ímpar em x e os limites em x são simétricos em torno de zero, pois
y^2-1 = -l(1-y^2r)
Portanto,
integralx=y^2-1^1-y^2x,y;dx = yintegral-A^Ax,dx com A=1-y^2,
e como integral-A^Ax,dx=0, segue que essa integral interna vale zero para todo y.

Passo 5

Integrando em y de -1 a 1 não muda nada: o integrando é zero em cada fatia, logo a integral dupla total é zero.

Resposta

A única integral dupla sobre a região
D=(x,y)mid -1<= y<=1,;y^2-1<= x<=1-y^2
é
integral duplaDx,y,dA=0

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