Calcule a integral dupla em
quando
.
Transforme a soma das integrais duplas
em uma única integral dupla numa região
conveniente.
Transforme a soma das integrais duplas
Passo 1
O enunciado pede para juntar as duas integrais
numa única integral dupla sobre uma região
e depois calcular essa integral para
. Vamos identificar
e usar propriedades de simetria para facilitar o cálculo.
Passo 2
Para a primeira parte temos
e
, ou seja
Para a segunda parte temos
e
, ou seja
Juntando as duas, vemos que
varia de
a
, isto é
, e para cada
temos
Passo 3
Logo a soma das duas integrais vira
que é a integral de
sobre a região
Passo 4
Para cada
fixo, o integrando
é função ímpar em
e os limites em
são simétricos em torno de zero, pois
Portanto,
e como
, segue que essa integral interna vale zero para todo
.
Passo 5
Integrando em
de
a
não muda nada: o integrando é zero em cada fatia, logo a integral dupla total é zero.
Resposta
A única integral dupla sobre a região
é