Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a concavidade do gráfico da função
está para cima ou para baixo, e também encontrar os pontos de inflexão, se tiver. Para isso, vamos usar derivadas, especificamente a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos diz sobre a concavidade do gráfico.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos onde a segunda derivada é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a serem pontos de inflexão.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
em torno de
para determinar a concavidade:
- Para
:
Então, a concavidade é para baixo.
- Para
:
Então, a concavidade é para cima.
Passo 6
Como a concavidade muda de para baixo para para cima quando passamos por
, isso significa que
é um ponto de inflexão.
Resposta
- Concavidade para baixo no intervalo
. - Concavidade para cima no intervalo
. - Ponto de inflexão em
.