Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
f(x)=x^3+3 x^2+x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a concavidade do gráfico da função f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 1 está para cima ou para baixo, e também encontrar os pontos de inflexão, se tiver. Para isso, vamos usar derivadas, especificamente a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
f'(x) = ddx(x^3) + ddx(3x^2) + ddx(x) + ddx(1)
f'(x) = 3x^2 + 6x + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos diz sobre a concavidade do gráfico.
f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(3x^2 + 6x + 1)
f''(x) = 6x + 6

Passo 4

Vamos encontrar os pontos onde a segunda derivada é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a serem pontos de inflexão.
6x + 6 = 0
6x = -6
x = -1

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de f''(x) em torno de x = -1 para determinar a concavidade:
  • Para x < -1 :
f''(x) = 6x + 6 < 0
Então, a concavidade é para baixo.
  • Para x > -1 :
f''(x) = 6x + 6 > 0
Então, a concavidade é para cima.

Passo 6

Como a concavidade muda de para baixo para para cima quando passamos por x = -1 , isso significa que x = -1 é um ponto de inflexão.

Resposta

  • Concavidade para baixo no intervalo (-infty, -1) .
  • Concavidade para cima no intervalo (-1, +infty) .
  • Ponto de inflexão em x = -1 .

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