Resolva a EDO homogênea (y^2+y x) d x+x^2 d y=0 : A. (2+y) / y=c^2 x^2 B. (2 x+y) / y=c x C. (x+y) / y=c^2 x^2 D. (2 x) / y=c^3 x^3 E. (2x+y) / y = c^2 x^2 Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea
(y^2+yx),dx + x^2,dy = 0,
ou seja, uma equação diferencial na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 em que M e N são homogêneos de mesmo grau. Vamos usar o método da substituição y=ux para reduzir a uma equação separável.

Passo 2

Defina
y = u x e dy = u,dx + x,du
Substituindo em M,dx + N,dy=0 com M=y^2+yx e N=x^2
l(u^2x^2 + ux^2r),dx + x^2l(u,dx + x,dur)=0

Passo 3

Expanda e simplifique dividindo por x^2:
(u^2+u),dx + u,dx + x,du = 0 ;Longrightarrow; (u^2+2u),dx + x,du = 0
Isolando as variáveis:
dxx + duu(u+2) = 0

Passo 4

Integre cada termo:
integral dxx + integral duu(u+2) = C
Para a segunda integral use frações parciais:
1u(u+2) = 1/2u - 1/2u+2,
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ln|x| + tfrac12ln|u| - tfrac12ln|u+2| = C

Passo 5

Multiplique por 2 e combine logs:
ln!l(x^2,uu+2r)=C' ;Longrightarrow; x^2,uu+2=K
Voltando a u=y/x:
x^2,(y/x)y/x+2 =yy+2x,x^2 =K ;Longrightarrow; y+2xy=K^-1x^2
Renomeando C=K^-1 obtemos
2x+yy=C,x^2,
que é exatamente a opção E.

Resposta

E. 2x+yy=c^2,x^2

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