Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
f(s)=s(s+3)^2

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de concavidade de f(s)=s(s+3)^2 e os pontos de inflexão, se existirem. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas: primeiro a derivada primeira para depois obter a segunda derivada e analisar onde ela muda de sinal.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em f(s)=scdot (s+3)^2, temos
f'(s)=1cdot(s+3)^2+scdot 2(s+3)cdot1=(s+3)l((s+3)+2sr)=3(s+3)(s+1)

Passo 3

Derivando f'(s)=3(s+3)(s+1) obtemos a segunda derivada:
f''(s)=3l[(s+3)'(s+1)+(s+3)(s+1)'r] =3l[1cdot(s+1)+(s+3)cdot1r] =6s+12

Passo 4

Para encontrar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos
f''(s)=6s+12=0 Longrightarrow s=-2
O ponto de inflexão é l(-2,,f(-2)r). Calculando
f(-2)=(-2)l((-2)+3r)^2=(-2)cdot1^2=-2,
logo o ponto de inflexão é (-2,-2).

Passo 5

Analisamos o sinal de f''(s)=6s+12:
  • Se s<-2, então 6s+12<0, logo f é côncava para baixo em (-infty,-2).
  • Se s>-2, então 6s+12>0, logo f é côncava para cima em (-2,infty).

Resposta

A concavidade é para baixo em (-infty,-2) e para cima em (-2,infty).
O único ponto de inflexão é (-2,-2).

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