Nos problemas a seguir, determine o(s) intervalo(s) em que a concavidade é para cima, o(s) intervalo(s) em que ela é pra baixo e todos os pontos de inflexão, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede os intervalos de concavidade de
e os pontos de inflexão, se existirem. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas: primeiro a derivada primeira para depois obter a segunda derivada e analisar onde ela muda de sinal.
Passo 2
Aplicando a regra do produto em
, temos
Passo 3
Derivando
obtemos a segunda derivada:
Passo 4
Para encontrar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos
O ponto de inflexão é
. Calculando
logo o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Analisamos o sinal de
:
- Se
, então , logo é côncava para baixo em . - Se
, então , logo é côncava para cima em .
Resposta
A concavidade é para baixo em
e para cima em
.
O único ponto de inflexão é .
O único ponto de inflexão é