ok 6. Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: \iint_{R}\left(x^{2}+2 y\right) d x d y, onde R é o círculo x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\iint_{R}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,dx\,dy
onde R é o disco definido por x^{2}+y^{2}\le4. O método sugerido é usar coordenadas polares, ou seja,
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
com r\ge0 e \theta variando no intervalo que cobre todo o disco.

Passo 2

Na coordenadas polares o disco R vira
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Substituindo x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta e y=r\sin\theta e incluindo o fator Jacobiano r, temos
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta + 2r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(r^{3}\cos^{2}\theta + 2r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
I = I_{1} + I_{2},
onde
I_{1} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta, \quad I_{2} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}2r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro note que
I_{2} =2\int_{0}^{2}\!r^{2}\,dr\;\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta
e como
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
segue que I_{2}=0.

Passo 5

Para I_{1} usamos a separação de variáveis:
I_{1} =\Bigl(\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\Bigr)\;\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\Bigr).
Calculamos cada parcela:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{16}{4}=4,
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =\pi.
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I_{1}=4\cdot\pi=4\pi.

Resposta

\boxed{4\pi}

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