Dentre os retângulos inscritos na elipse de equação
encontre as dimensões do que tem maior área. (Todo retângulo inscrito nesta elipse tem lados paralelos aos eixos. Use este fato)
Passo 1
O enunciado nos dá a elipse
e pede o retângulo de maior área inscrito nela, com lados paralelos aos eixos. Vamos usar otimização: expressar a área em função de uma só variável (por simetria usamos
e
para um vértice no primeiro quadrante) e depois aplicar derivada para encontrar o máximo.
Passo 2
Da equação da elipse isolamos
em função de
. Como
temos
Passo 3
O retângulo inscrito tem vértices
, de modo que sua largura é
e sua altura é
. A área
é
Passo 4
Para maximizar
em
, derivamos e igualamos a zero. Escrevendo
temos
Simplificando,
Igualando
dá
Passo 5
Encontrado
, obtemos
Logo o retângulo de maior área tem largura
e altura
, ou seja,
Resposta
A largura do retângulo é
e a altura é
.