Dentre os retângulos inscritos na elipse de equação \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1 encontre as dimensões do que tem maior área. (Todo retângulo inscrito nesta elipse tem lados paralelos aos eixos. Use este fato)

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1
e pede o retângulo de maior área inscrito nela, com lados paralelos aos eixos. Vamos usar otimização: expressar a área em função de uma só variável (por simetria usamos x>0 e y>0 para um vértice no primeiro quadrante) e depois aplicar derivada para encontrar o máximo.

Passo 2

Da equação da elipse isolamos y em função de x. Como
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1
temos
\frac{y^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{3} \quad\Longrightarrow\quad y=2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3}}\,.

Passo 3

O retângulo inscrito tem vértices (\pm x,\pm y), de modo que sua largura é 2x e sua altura é 2y. A área A é
A(x)=2x\cdot 2y =4x\cdot 2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3}} =8\,x\,\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3}}.

Passo 4

Para maximizar A(x) em 0<x<\sqrt{3}, derivamos e igualamos a zero. Escrevendo
A(x)=8\,x\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{3}\bigr)^{1/2},
temos
A'(x)=8\Bigl(1-\tfrac{x^{2}}{3}\Bigr)^{1/2} +8\,x\cdot\frac12\Bigl(1-\tfrac{x^{2}}{3}\Bigr)^{-1/2}\!\Bigl(-\tfrac{2x}{3}\Bigr).
Simplificando,
A'(x) =8\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{3}} -\frac{8x^{2}}{3\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{3}}} =\frac{8\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{3}\bigr)-\tfrac{8x^{2}}{3}}{\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{3}}} =\frac{8\bigl(1-\tfrac{2x^{2}}{3}\bigr)}{\sqrt{1-\tfrac{x^{2}}{3}}}.
Igualando A'(x)=0
1-\frac{2x^{2}}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{\tfrac{3}{2}}.

Passo 5

Encontrado x=\sqrt{3/2}, obtemos
y=2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3}} =2\sqrt{1-\frac{\tfrac{3}{2}}{3}} =2\sqrt{1-\tfrac12} =2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2}.
Logo o retângulo de maior área tem largura 2x e altura 2y, ou seja,
\text{largura}=2\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\sqrt{6}, \quad \text{altura}=2\sqrt{2}.

Resposta

A largura do retângulo é \sqrt{6} e a altura é 2\sqrt{2}.

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