Dentre os pontos da curva C de equação y=\frac{1}{x^{2}}, encontre o ponto P para o qual o segmento da reta tangente a curva em P, definido de P até o ponto onde a reta intersecta o eixo das abscissas tem a menor medida.

Passo 1

O enunciado pede o ponto P sobre a curva y = 1/x^{2} tal que o comprimento do segmento da reta tangente em P até o ponto onde ela cruza o eixo x seja mínimo. Para resolver vamos: 1) calcular a derivada para obter a reta tangente em um ponto genérico P=(a,1/a^{2}); 2) achar onde essa reta intercepta o eixo x; 3) determinar a distância entre P e essa interseção; 4) minimizar essa distância em função de a.

Passo 2

A derivada de y = x^{-2} é
y' = -2\,x^{-3}.
Em P=(a,1/a^{2}) temos
y'(a) = -\frac{2}{a^{3}}.
A equação da reta tangente em P é
y - \frac{1}{a^{2}} = -\frac{2}{a^{3}}\bigl(x - a\bigr).

Passo 3

Para achar a interseção com o eixo x, impomos y=0:
-\frac{1}{a^{2}} = -\frac{2}{a^{3}}\bigl(x - a\bigr) \;\Longrightarrow\; -\!a = -2\,(x - a) \;\Longrightarrow\; x = \frac{3a}{2}.
Logo o ponto de interseção é A=\bigl(\tfrac{3a}{2},0\bigr).

Passo 4

O comprimento do segmento PA ao quadrado é
L^{2}(a) = \Bigl(\frac{3a}{2}-a\Bigr)^{2} + \Bigl(0-\frac{1}{a^{2}}\Bigr)^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{1}{a^{4}}.
Para minimizar L(a) basta minimizar L^{2}(a).

Passo 5

Calculamos a derivada de L^{2}(a) e igualamos a zero:
\frac{d}{da}\Bigl(\frac{a^{2}}{4} + a^{-4}\Bigr) = \frac{a}{2} - 4\,a^{-5} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{a}{2} = \frac{4}{a^{5}} \;\Longrightarrow\; a^{6} = 8 \;\Longrightarrow\; a = \sqrt{2}
(considerando o ramo a>0). Verifica-se que este valor dá mínimo. Então
P = \Bigl(\sqrt{2},\frac{1}{(\sqrt{2})^{2}}\Bigr) = \Bigl(\sqrt{2},\tfrac12\Bigr).

Resposta

P=(\sqrt{2},\tfrac12)

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