Dentre os pontos da curva
de equação
, encontre o ponto
para o qual o segmento da reta tangente a curva em
, definido de
até o ponto onde a reta intersecta o eixo das abscissas tem a menor medida.
Passo 1
O enunciado pede o ponto
sobre a curva
tal que o comprimento do segmento da reta tangente em
até o ponto onde ela cruza o eixo
seja mínimo. Para resolver vamos: 1) calcular a derivada para obter a reta tangente em um ponto genérico
; 2) achar onde essa reta intercepta o eixo
; 3) determinar a distância entre
e essa interseção; 4) minimizar essa distância em função de
.
Passo 2
A derivada de
é
Em
temos
A equação da reta tangente em
é
Passo 3
Para achar a interseção com o eixo
, impomos
:
Logo o ponto de interseção é
.
Passo 4
O comprimento do segmento
ao quadrado é
Para minimizar
basta minimizar
.
Passo 5
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
(considerando o ramo
). Verifica-se que este valor dá mínimo. Então