Calcule a integral indefinida.
\int 5^{t} \sin (5 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 5^{t}\,\sin(5t)\,dt
O conteúdo aqui é integração de um produto entre exponencial e seno. Vamos usar integração por partes duas vezes para resolver.

Passo 2

Reescrevendo 5^{t} como exponencial, temos
5^{t} = e^{t\ln 5},
então a integral vira
I = \int e^{t\ln 5}\,\sin(5t)\,dt.

Passo 3

Aplicamos integração por partes em I. Tome
u = \sin(5t),\quad dv = e^{t\ln5}\,dt
então
du = 5\cos(5t)\,dt,\quad v = \frac{e^{t\ln5}}{\ln5}.
Logo
I = uv - \int v\,du = \frac{e^{t\ln5}\sin(5t)}{\ln5} - \frac{5}{\ln5}\int e^{t\ln5}\cos(5t)\,dt.
Chame a segunda integral de
J = \int e^{t\ln5}\cos(5t)\,dt.

Passo 4

Agora calcula-se
J = \int e^{t\ln5}\cos(5t)\,dt
também por partes, com
u = \cos(5t),\quad dv = e^{t\ln5}\,dt
resultando em
du = -5\sin(5t)\,dt,\quad v = \frac{e^{t\ln5}}{\ln5}.
Então
J = \frac{e^{t\ln5}\cos(5t)}{\ln5} + \frac{5}{\ln5}\int e^{t\ln5}\sin(5t)\,dt = \frac{e^{t\ln5}\cos(5t)}{\ln5} + \frac{5}{\ln5}\,I.

Passo 5

Substituindo J em
I = \frac{e^{t\ln5}\sin(5t)}{\ln5} - \frac{5}{\ln5}\,J
obtém-se
I = \frac{e^{t\ln5}\sin(5t)}{\ln5} - \frac{5}{\ln5}\Bigl(\frac{e^{t\ln5}\cos(5t)}{\ln5} + \frac{5}{\ln5}I\Bigr).
Reorganizando para isolar I
I\Bigl(1 + \bigl(\tfrac{5}{\ln5}\bigr)^{2}\Bigr) = e^{t\ln5}\,\frac{(\ln5)\sin(5t)-5\cos(5t)}{(\ln5)^{2}}.
Portanto
I = \frac{e^{t\ln5}\bigl((\ln5)\sin(5t)-5\cos(5t)\bigr)} {(\ln5)^{2}+25} + C.

Passo 6

Voltando a 5^{t}=e^{t\ln5}, a resposta final é:

Resposta

\int 5^{t}\sin(5t)\,dt = \frac{5^{t}\bigl((\ln5)\sin(5t)-5\cos(5t)\bigr)}{(\ln5)^{2}+25} + C.

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