Calcule a integral indefinida.
\int x \sin \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Aqui o conteúdo é integração por substituição, pois a derivada de x^{2} aparece multiplicando o seno.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x^{2},
de modo que
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du.
Como \displaystyle \int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C, obtemos
\frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{2}\cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2} e concluímos:
-\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C

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