Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
integral duplaD(x^2+y^2) d x d y, onde D=(x, y) in R^2: 1 <= x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD(x^2+y^2),dx,dy
onde
D=(x,y)inR^2:1<= x^2+y^2<=4
O conteúdo é troca para coordenadas polares, usando x=rcostheta, y=rsintheta e o fator jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas polares o domínio D vira
(r,theta)mid 1<= r<=2,;0<=theta<=2pi

Passo 3

Na mudança de variável temos
x^2+y^2=r^2, dx,dy=r,dr,dtheta
Logo o integrando (x^2+y^2),dx,dy torna-se r^2cdot r,dr,dtheta=r^3,dr,dtheta.

Passo 4

A integral transforma-se em
integral0^2piintegral1^2r^3,dr,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral1^2r^3,dr =r^44|1^2 =16-14 =154

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^2pidtheta =2pi
Multiplicando os resultados em r e em theta
154times2pi =15pi2

Resposta

15pi2

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