Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
, onde
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
onde
é o semidisco de raio
à direita da reta
. Como temos círculo e motivo trigonométrico, vamos usar coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
O integrando fica
Passo 3
Multiplicando pelo Jacobiano, o elemento de área torna-se
Passo 4
Agora definimos a região
em polares. O disco dá
. A condição
vira
Para existir solução com
é preciso
e
, i.e.\
. Logo
Passo 5
A integral vira
Passo 6
Integramos primeiro em
:
Passo 7
Restou
Como
temos
Passo 8
Sabendo
e
,
Substituindo no resultado: