Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
integral duplaD xx^2+y^2 d A, onde D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 4, x >= 1

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaDxx^2+y^2,dA,
onde D é o semidisco de raio 2 à direita da reta x=1. Como temos círculo e motivo trigonométrico, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
O integrando fica
xx^2+y^2 = rcosthetar^2 = costhetar

Passo 3

Multiplicando pelo Jacobiano, o elemento de área torna-se
costhetar,r,dr,dtheta = costheta,dr,dtheta

Passo 4

Agora definimos a região D em polares. O disco dá 0<= r<= 2. A condição x>= 1 vira
rcostheta >= 1 ;Longrightarrow; r >= 1costheta
Para existir solução com r <= 2 é preciso costheta > 0 e tfrac1costheta <= 2, i.e.\ |theta| <= pi/3. Logo
-tfracpi3 <= theta <= tfracpi3, 1costheta <= r <= 2

Passo 5

A integral vira
integral duplaDxx^2+y^2,dA = integraltheta=-pi/3^pi/3 integralr=1/costheta^2 costheta,dr,dtheta

Passo 6

Integramos primeiro em r:
integralr=1/costheta^2costheta,dr = costhetal[rr]1/costheta^2 = costheta,(2 - tfrac1costheta) = 2costheta - 1

Passo 7

Restou
integral-pi/3^pi/3(2costheta - 1),dtheta = integral-pi/3^pi/32costheta,dtheta - integral-pi/3^pi/31,dtheta
Como
integral2costheta,dtheta = 2sintheta, integral1,dtheta = theta,
temos
l[2sintheta - thetar]-pi/3^pi/3 = l(2sin(tfracpi3) - tfracpi3r) - l(2sin(-tfracpi3) + tfracpi3r)

Passo 8

Sabendo sin(pi/3)=tfracraiz32 e sin(-pi/3)=-tfracraiz32,
2sin(tfracpi3) = raiz3, 2sin(-tfracpi3) = -raiz3
Substituindo no resultado:
(raiz3 - tfracpi3) - (-raiz3 + tfracpi3) = 2raiz3 - tfrac2pi3

Resposta

2raiz3 - tfrac2pi3

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