Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A, onde D é a região contida no círculo x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaDe^-l(x^2+y^2r),dA
onde D é o disco x^2+y^2<=1. Vamos usar mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.
O domínio D vira
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi,
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integral duplaDe^-(x^2+y^2),dA =integral0^2piintegral0^1e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r. Use u=r^2, du=2r,dr Rightarrow r,dr=tfrac12,du, com u(0)=0, u(1)=1. Então
integral0^1e^-r^2,r,dr =12integral0^1e^-u,du =12l[-e^-ur]0^1 =12l(1-e^-1r)

Passo 4

Agora integramos em theta. Como o resultado anterior é constante em theta,
integral0^2pi12l(1-e^-1r),dtheta =2picdot12l(1-e^-1r) =pil(1-e^-1r)

Resposta

pil(1-e^-1r)

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