Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y, onde e

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de e^x^2+y^2 sobre a região D definida por 1 <= x^2+y^2 <= 4, -x <= y <= x e x>=0. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de área dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em polares, a condição 1 <= x^2+y^2 <= 4 vira 1 <= r^2 <= 4, ou seja, 1 <= r <= 2.
As desigualdades -x <= y <= x com x=rcostheta>=0 ficam -rcostheta <= rsintheta <= rcostheta. Dividindo por r>0, obtemos -costheta <= sintheta <= costheta, o que implica -tfracpi4 <= theta <= tfracpi4.

Passo 3

Portanto a integral em coordenadas polares é
$$
\int_{\theta=-\pi/4}{\pi/4}\n\int_{r=1}{2}e{r{2}},r,dr,d\theta\n integraltheta=-pi/4^pi/4nintegralr=1^2e^r^2,r,dr,dthetanã
\int_{1}{2}e{r^{2}},r,dr = \frac{1}{2}\Bigl[e{r{2}}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}(e{4}-e{1})
$$

Passo 4

Substituindo na integral angular, temos
integral-pi/4^pi/4 12(e^4-e),dtheta = 12(e^4-e) l(tfracpi4-(-tfracpi4)r) = 12(e^4-e) cdot pi2
Fazendo a simplificação final, obtemos
pi4(e^4-e)

Resposta

pi4(e^4-e)

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