Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
, onde
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
definida por
,
e
. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando
,
e o elemento de área
.
Passo 2
Em polares, a condição
vira
, ou seja,
.
As desigualdades com
ficam
. Dividindo por
, obtemos
, o que implica
.
As desigualdades
Passo 3
Portanto a integral em coordenadas polares é
$$
\int_{\theta=-\pi/4}{\pi/4}\n\int_{r=1}{2}e{r{2}},r,dr,d\theta\n
\int_{1}{2}e{r^{2}},r,dr = \frac{1}{2}\Bigl[e{r{2}}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}(e{4}-e{1})
$$
Passo 4
Substituindo na integral angular, temos
Fazendo a simplificação final, obtemos