Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
integral duplaD d x d y, onde D é a região, no plano x y, limitada pela curva (dada em coordenadas polares) rho=cos (2 theta),-pi8 <= theta <= pi4

Passo 1

O enunciado pede a área da região D descrita em coordenadas polares pela curva
rho = cos(2theta), -pi8<=theta<=pi4,
isto é, calcular
integral duplaDdx,dy
O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas polares, usando
dx,dy = rho,drho,dtheta

Passo 2

Primeiro descrevemos D em coordenadas polares. Em cada ângulo theta do intervalo dado, o raio varia de rho=0 até rho=cos(2theta). Note que em -pi/8<=theta<=pi/4 temos cos(2theta)>=0. Assim
integral duplaDdx,dy =integraltheta=-pi/8^pi/4 integralrho=0^cos(2theta)rho,drho,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em rho:
integral0^cos(2theta)rho,drho =[rho^22]0^cos(2theta) =cos^2(2theta)2
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integral duplaDdx,dy =integral-pi/8^pi/4cos^2(2theta)2,dtheta =12integral-pi/8^pi/4cos^2(2theta),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de redução
cos^2(2theta) =1+cos(4theta)2
Então
12integralcos^2(2theta),dtheta =12integral1+cos(4theta)2,dtheta =14integrall(1+cos(4theta)r)dtheta
Integramos:
integrall(1+cos(4theta)r)dtheta =theta+sin(4theta)4

Passo 5

Aplicando os limites theta=-pi/8 e theta=pi/4, obtemos
integral duplaDdx,dy =14l[theta+sin(4theta)4r]-pi/8^pi/4 =3pi32+116 =3pi+232

Resposta

3pi+232

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