Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
-
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é
, onde a região
é definida por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a região
. A condição
significa que estamos entre dois círculos: um com raio 1 e outro com raio 2. Já a condição
indica que estamos na parte onde
é menor ou igual a
. Em coordenadas polares,
e
.
Passo 3
Vamos transformar a função
para coordenadas polares. Sabemos que
, já que
é o ângulo no sistema polar que representa a posição do ponto
.
Passo 4
Agora, vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. A condição
se traduz para
, o que significa
(porque
é sempre positivo).
Para a condição
, substituindo por
e
, temos
, o que simplifica para
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
), temos
, ou seja,
.
Passo 5
Assim, nossa integral em coordenadas polares fica:
Aqui,
é o diferencial de área em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 8
Calculamos a integral de
em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.