Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
  • integral duplaD arctan (yx) d A, onde D=(x, y) in R^2: 1 <= x^2+y^2 <= 4,0 <= y <= x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral é integral duplaD arctan (yx) d A, onde a região D é definida por 1 <= x^2+y^2 <= 4 e 0 <= y <= x. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a região D. A condição 1 <= x^2+y^2 <= 4 significa que estamos entre dois círculos: um com raio 1 e outro com raio 2. Já a condição 0 <= y <= x indica que estamos na parte onde y é menor ou igual a x. Em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta.

Passo 3

Vamos transformar a função arctan(yx) para coordenadas polares. Sabemos que arctan(yx) = theta, já que theta é o ângulo no sistema polar que representa a posição do ponto (x, y).

Passo 4

Agora, vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. A condição 1 <= x^2+y^2 <= 4 se traduz para 1 <= r^2 <= 4, o que significa 1 <= r <= 2 (porque r é sempre positivo).
Para a condição 0 <= y <= x, substituindo por y = rsintheta e x = rcostheta, temos 0 <= rsintheta <= rcostheta, o que simplifica para 0 <= sintheta <= costheta. Dividindo ambos os lados por costheta (assumindo costheta > 0), temos 0 <= tantheta <= 1, ou seja, 0 <= theta <= pi4.

Passo 5

Assim, nossa integral em coordenadas polares fica:
integral0^pi4 integral1^2 theta cdot r , dr , dtheta
Aqui, r, dr, dtheta é o diferencial de área em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral1^2 theta cdot r , dr = theta integral1^2 r , dr = theta [ r^22 ]1^2 = theta ( 42 - 12 ) = theta ( 2 - 0,5 ) = theta cdot 1,5 = 1,5theta

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi4 1,5theta , dtheta = 1,5 integral0^pi4 theta , dtheta

Passo 8

Calculamos a integral de theta em relação a theta:
1,5 [ theta^22 ]0^pi4 = 1,5 ( (pi4)^22 - 0 ) = 1,5 cdot pi^232 = 3pi^264

Resposta

A integral dupla vale 3pi^264.

Exercícios relacionados