Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado:
delimitado pelo cone z^2=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=2 x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cone z^2=x^2+y^2 (ou seja, z=pm r em coordenadas polares) e pelo cilindro x^2+y^2=2x. Vamos usar coordenadas polares (r,theta), em que x=rcostheta, y=rsintheta, e o elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares a superfície cilíndrica vira
r^2=2rcostheta Longrightarrow r=2costheta,
com costheta>=0, isto é, -tfracpi2<=theta<=tfracpi2 e 0<= r<=2costheta. O cone dá z variando de -r a r.

Passo 3

Montamos o integral triplo para o volume:
V=integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2costheta integralz=-r^r r ;dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=-r^rr,dz = rl[zr]-r^r = r,(r-(-r))=2r^2
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V=integral-pi2^pi2 integral0^2costheta 2r^2 ;dr,dtheta

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^2costheta2r^2,dr =2cdot(2costheta)^33 =163cos^3theta
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V=163integral-pi2^pi2cos^3theta,dtheta

Passo 6

Como cos^3theta é função par,
integral-pi2^pi2cos^3theta,dtheta =2integral0^pi2cos^3theta,dtheta =2cdot23 =43

Passo 7

Substituindo no volume:
V=163cdot43 =649

Resposta

V=649

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