Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
, onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelo semicírculo
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelo semicírculo
. Reconhecemos que em coordenadas polares essa curva fica mais simples, então vamos usar
.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
A equação
vira
Como estamos no primeiro quadrante,
varia de
a
e, para cada
,
vai de
até
.
Passo 3
Substituindo na integral temos
portanto
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Logo a integral torna-se
Passo 5
Para avaliar
fazemos a substituição
, de onde
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Portanto