Calcule a integral dupla usando coordenadas polares.
integral duplaD y d A, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelo semicírculo x^2+y^2=2 x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaDy,dA
onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelo semicírculo x^2+y^2=2x. Reconhecemos que em coordenadas polares essa curva fica mais simples, então vamos usar (r,theta).

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
A equação x^2+y^2=2x vira
r^2 = 2rcostheta Longrightarrow r = 2costheta
Como estamos no primeiro quadrante, theta varia de 0 a tfracpi2 e, para cada theta, r vai de 0 até 2costheta.

Passo 3

Substituindo na integral temos
y,dA = (rsintheta),(r,dr,dtheta) = r^2sintheta,dr,dtheta,
portanto
integral duplaDy,dA = integral0^pi/2integral0^2costhetar^2sintheta,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^2costhetar^2sintheta,dr = sinthetaintegral0^2costhetar^2,dr = sintheta[r^33]0^2costheta = 83,sinthetacos^3theta
Logo a integral torna-se
integral0^pi/283sinthetacos^3theta,dtheta

Passo 5

Para avaliar
integral0^pi/2sinthetacos^3theta,dtheta
fazemos a substituição u=costheta, de onde du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0 temos u=1; quando theta=pi/2 temos u=0. Assim
integral0^pi/2sinthetacos^3theta,dtheta =integral1^0-u^3,du =integral0^1u^3,du =[u^44]0^1 =14
Portanto
integral0^pi/283sinthetacos^3theta,dtheta =83cdot14 =23

Resposta

23

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