Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também encontrar a sua soma. As informações dadas são: o termo geral da série é
com
.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral algebraicamente. Use a propriedade de potências que diz que
. Assim podemos escrever
Passo 3
Agora fatoramos
em evidência:
Como
, segue que
Passo 4
Para ter certeza, verificamos por paridade (caso
par e
ímpar):
- Se
é par então e , logo o termo é . - Se
é ímpar então e , logo o termo é .
Em ambos os casos o termo geral é. Portanto o termo geral da série é para todo .
Passo 5
Lembre do conceito: uma série
converge se a sequência das somas parciais
converge (tem limite finito) quando
.
Passo 6
No nosso caso cada
. Então a soma parcial qualquer é
A sequência
é constante igual a
, portanto convergente e com limite
.
Passo 7
Concluímos que a série converge e que sua soma é
. (Intuitivamente: estamos somando um monte de zeros, impossível dar outro resultado.)
Resposta
Convergente; soma =
.