Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n}+(-1)^{n+1}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n}+(-1)^{n+1}\right]
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também encontrar a sua soma. As informações dadas são: o termo geral da série é \left[(-1)^{n}+(-1)^{n+1}\right] com n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral algebraicamente. Use a propriedade de potências que diz que (-1)^{n+1}=(-1)^{n}\cdot(-1). Assim podemos escrever
(-1)^{n}+(-1)^{n+1}=(-1)^{n}+(-1)^{n}\cdot(-1).

Passo 3

Agora fatoramos (-1)^{n} em evidência:
(-1)^{n}+(-1)^{n}\cdot(-1)=(-1)^{n}\bigl(1+(-1)\bigr).
Como 1+(-1)=0, segue que
(-1)^{n}\bigl(1+(-1)\bigr)=(-1)^{n}\cdot 0=0.

Passo 4

Para ter certeza, verificamos por paridade (caso n par e n ímpar):
  • Se n é par então (-1)^{n}=1 e (-1)^{n+1}=-1, logo o termo é 1+(-1)=0.
  • Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1 e (-1)^{n+1}=1, logo o termo é -1+1=0.
    Em ambos os casos o termo geral é 0. Portanto o termo geral da série é a_n=0 para todo n.

Passo 5

Lembre do conceito: uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
converge (tem limite finito) quando N\to\infty.

Passo 6

No nosso caso cada a_n=0. Então a soma parcial qualquer é
S_N=\sum_{n=1}^{N} 0 = 0.
A sequência (S_N)_{N\ge1} é constante igual a 0, portanto convergente e com limite 0.

Passo 7

Concluímos que a série converge e que sua soma é 0. (Intuitivamente: estamos somando um monte de zeros, impossível dar outro resultado.)

Resposta

Convergente; soma = 0.

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