Calcule integral duplaB y d x d y onde B é o conjunto dado.
B=(x, y) in R^2 mid x >= 0, x^5-x <= y <= 0.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaB y , dx , dy, onde a região B é definida por x >= 0 e x^5-x <= y <= 0. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre uma região no plano. Para resolver, precisamos entender os limites de integração e como configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. A condição x >= 0 nos indica que estamos no lado direito do eixo y. A expressão x^5 - x define o limite inferior de y, e y <= 0 define o limite superior. Isso significa que para cada valor de x, y varia de x^5 - x até 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x para os quais as curvas se intersectam. Precisamos resolver x^5 - x = 0:
x(x^4 - 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x^4 = 1 Rightarrow x = 1 (já que x >= 0) á
Portanto, x varia de 0 a 1.

Passo 4

Com isso, podemos configurar a integral dupla. Os limites de x são de 0 a 1 e, para cada x, y varia de x^5 - x a 0. A integral fica:
integral0^1 integralx^5 - x^0 y , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integralx^5 - x^0 y , dy = [ y^22 ]x^5 - x^0 = 0^22 - (x^5 - x)^22 = -(x^5 - x)^22

Passo 6

Substituindo a integral interna na integral externa:
integral0^1 ( -(x^5 - x)^22 ) dx = -12 integral0^1 (x^5 - x)^2 , dx
Vamos expandir (x^5 - x)^2:
(x^5 - x)^2 = x^10 - 2x^6 + x^2

Passo 7

Agora, a integral fica:
-12 integral0^1 (x^10 - 2x^6 + x^2) , dx = -12 ( integral0^1 x^10 , dx - 2 integral0^1 x^6 , dx + integral0^1 x^2 , dx )

Passo 8

Calculando cada integral:
integral0^1 x^10 , dx = x^1111 g|0^1 = 111
integral0^1 x^6 , dx = x^77 g|0^1 = 17
integral0^1 x^2 , dx = x^33 g|0^1 = 13

Passo 9

Substituindo de volta:
-12 ( 111 - 2 cdot 17 + 13 ) = -12 ( 111 - 27 + 13 )
Vamos encontrar um denominador comum, que é 231:
21231 - 66231 + 77231 = 21 - 66 + 77231 = 32231

Resposta

Portanto, a integral vale:
-12 cdot 32231 = -16231

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