Derive a função utilizando as Regras de Derivação. f(x) = e^x + x^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com as regras de derivação. Vamos precisar conhecer a derivada da função exponencial e também como derivar uma função do tipo , que é um pouco mais complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o termo . A função exponencial tem uma propriedade muito legal: a derivada de em relação a é ela mesma. Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos para o termo . Esse é um caso especial porque a base e o expoente são variáveis. Uma forma de derivar isso é reescrever usando logaritmos para facilitar a diferenciação:

Passo 4

Com a expressão reescrita como , podemos aplicar a regra da cadeia para derivar. A regra da cadeia nos diz que a derivada de é vezes a derivada de . Aqui, . Então,

Passo 5

Agora precisamos derivar . Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Voltando à derivada de :
E lembrando que , podemos escrever:

Resposta

Assim, a derivada da função é:

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