Considere os vetores e . Determine sabendo que é ortogonal a e , que forma um ângulo agudo com e que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores, e . Queremos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e , ou seja, que forme um ângulo de com cada um deles. Além disso, deve formar um ângulo agudo com o vetor (que é o vetor unitário na direção y), e o comprimento de deve ser . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial para garantir a ortogonalidade e depois ajustar a direção e o comprimento de conforme as condições dadas.
Passo 2
Para garantir que seja ortogonal a e , podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Então, calculamos .
Vamos calcular:
Então, .
Passo 3
Agora, precisamos ajustar o vetor w para que seu comprimento seja . Primeiro, vamos encontrar o comprimento atual de w que calculamos:
Surpreso? Parece que o comprimento já está correto! Então, já satisfaz .
Passo 4
Porém, temos mais uma condição: w deve formar um ângulo agudo com vec(j). Para que o ângulo entre dois vetores seja agudo, o produto escalar entre eles deve ser positivo. Vamos verificar:
Como 7 é positivo, o ângulo entre w e vec(j) é realmente agudo. Portanto, não precisamos ajustar o vetor.