Considere os vetores u = (2, -1, 3) e v = (1, 0, -2). Determine w sabendo que w é ortogonal a u e v, que w forma um ângulo agudo com vec(j) e que ||w|| = 3 * raiz(6).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores, e . Queremos encontrar um vetor w que seja ortogonal a ambos u e v, ou seja, que forme um ângulo de com cada um deles. Além disso, w deve formar um ângulo agudo com o vetor vec(j) (que é o vetor unitário na direção y), e o comprimento de w deve ser . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial para garantir a ortogonalidade e depois ajustar a direção e o comprimento de w conforme as condições dadas.

Passo 2

Para garantir que w seja ortogonal a u e v, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Então, calculamos .
Vamos calcular:
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos ajustar o vetor w para que seu comprimento seja . Primeiro, vamos encontrar o comprimento atual de w que calculamos:
Surpreso? Parece que o comprimento já está correto! Então, já satisfaz .

Passo 4

Porém, temos mais uma condição: w deve formar um ângulo agudo com vec(j). Para que o ângulo entre dois vetores seja agudo, o produto escalar entre eles deve ser positivo. Vamos verificar:
Como 7 é positivo, o ângulo entre w e vec(j) é realmente agudo. Portanto, não precisamos ajustar o vetor.

Resposta

O vetor w que satisfaz todas as condições é .

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