Calcule:
6.6) integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A, onde D é a região contida na circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

A gente precisa calcular integral duplaD e^-(x^2+y^2) ,dA, onde D é o disco de raio 1. Esse problema envolve conteúdo de integração em coordenadas polares e a gente vai usar isso pra simplificar a conta.
A troca pra coordenadas polares é dada por x = rcostheta, y = rsintheta e o elemento de área vira dA = r,dr,dtheta. Além disso, como D é o disco de raio 1, temos 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi.

Passo 2

Substituindo na integral dupla, fica:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) ,dA = integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 ,r,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro calculamos a integral em r. Fazendo a substituição u = r^2, logo du = 2r,dr e r,dr = tfrac12 du. Assim
integral0^1 e^-r^2 r,dr = 12 integral0^1 e^-u,du = 12 l[ -e^-ur]0^1 = 12 (1 - e^-1)

Passo 4

Agora fica só integrar em theta, o que dá:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 5

Multiplicando tudo, obtemos pi (1 - e^-1).

Resposta

pi (1 - e^-1)

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