Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral1^+infty d x(x-1)^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral1^+inftydx(x-1)^3
Aqui temos duas impropriedades: o integrando fica singular em x=1 e o limite superior é infinito.

Passo 2

Primeiro, examinamos a singularidade em x=1. Façamos a substituição
u = x - 1,
de modo que quando xto1^+ temos uto0^+ e quando x chega a algum ponto finito b>1 temos u=b-1. A integral perto de x=1 vira
integral1^1+de<adx(x-1)^3 =integral0^de<a duu^3
Esta é uma “ p,-integral” na forma
integral0^de<au^-p,du
com p=3. Sabemos pelo critério de p,-integral que ela converge se, e somente se, p<1. Aqui p=3>1, logo
integral0^de<au^-3,du
diverge (fica do tipo sim u^-2|0^de<atoinfty).

Passo 3

Como a integral já diverge no limite inferior xto1^+, não faz sentido prosseguir para o limite xto+infty: a integral imprópria é divergente.

Resposta

A integral diverge.

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