Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
f(x)=ln x
lim x 0^+ f(x)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x) = ln x
quando x se aproxima de 0 pela direita. O conteúdo aqui é análise de limites no ponto de fronteira do domínio e tendência a infinito. Vamos usar as propriedades de ln x e a definição de limite infinito para justificar a resposta.

Passo 2

Lembrando que ln x está definido apenas para x>0, é contínuo e estritamente crescente em (0,infty). Graficamente, sua curva desce indefinidamente à medida que x se aproxima de 0^+. Isso sugere que
ln x longrightarrow -infty quando xto 0^+

Passo 3

Para dar um argumento formal de que ln x tende a -infty, usamos a definição de limite infinito:
Dado qualquer número real M, queremos mostrar que existe de<a>0 tal que
0 < x < de<a Longrightarrow ln x < M
Escolhemos
de<a = e^M
Como a exponencial é a inversa do logaritmo, para 0<x<e^M temos
ln x < lnl(e^Mr) = M
Isso prova que ln x ultrapassa qualquer cota inferior M, indo para -infty.

Passo 4

Concluímos, portanto, que não existe limite finito quando xto0^+; ao invés disso, o valor de ln x decai sem limite superior negativo.

Resposta

limxto0^+ln x = -infty

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