Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
O enunciado pede o limite da função
quando
se aproxima de
pela direita. O conteúdo aqui é análise de limites no ponto de fronteira do domínio e tendência a infinito. Vamos usar as propriedades de
e a definição de limite infinito para justificar a resposta.
Passo 2
Lembrando que
está definido apenas para
, é contínuo e estritamente crescente em
. Graficamente, sua curva desce indefinidamente à medida que
se aproxima de
. Isso sugere que
Passo 3
Para dar um argumento formal de que
tende a
, usamos a definição de limite infinito:
Dado qualquer número real , queremos mostrar que existe
tal que
Dado qualquer número real
Escolhemos
Como a exponencial é a inversa do logaritmo, para
temos
Isso prova que
ultrapassa qualquer cota inferior
, indo para
.
Passo 4
Concluímos, portanto, que não existe limite finito quando
; ao invés disso, o valor de
decai sem limite superior negativo.